四、特殊类型矩阵 I 基础技术1、准对角矩阵 2、上(下)三角矩阵 3、对称与反对称矩阵 对称矩阵(1) 性质: 设 A 为实对称矩阵, 则 A^2=O\Leftrightarrow A=O. (2) 性质: 设 A 为实对称矩阵, 则存在常数 c 使得… GROUP打开知乎App 在「我的页」右上角打开扫一扫 其他扫码方式:微信 下载知乎App 开...
矩阵2范数证明 要证明矩阵的2范数是最大奇异值,需要进行如下步骤: 1.首先说明2范数满足范数的定义。 2.其次,证明2范数是矩阵的最大奇异值。 1. 2范数是矩阵的一个范数,满足以下定义: -非负性:对于任意的矩阵A,2范数总是非负的,即||A||2 >= 0。 -零范数:当且仅当A矩阵的所有元素都为零时,2范数为...
‖A‖2=λmax,A=AT Frobenius Matrix Norm与Induced Matrix Norms Frobenius Matrix Norm Frobenius Matrix Norm简称F范数,就是课堂上讲的,其定义为: ‖A‖F2=∑i,j|aij|2=∑i‖Ai∗‖22=∑j‖A∗j‖22=trace(A∗A) 然而由F范数的定义是推不出来 ‖A‖2=λmax 的,它是由Induced Matrix No...
换句话说,矩阵A的2范数的平方等于矩阵A^TA的最大特征值。 至此,我们证明了矩阵2范数的定义以及一些重要性质。 矩阵2范数在许多实际问题中有着广泛的应用。例如,我们可以利用矩阵2范数来度量矩阵的稳定性,判断矩阵的奇异性,设计最优实验设计方案等。此外,矩阵2范数还与矩阵的谱半径、条件数等概念密切相关。 总结起...
由于A是正规矩阵，它的奇异值就是其特征值的模。因此，A的2范数，即其最大奇异值，就等于其最大特征值的模，也就是谱半径。综上所述，对于正规矩阵A，其2范数和谱半径是相等的。例子：考虑一个2x2的正规矩阵A，它的特征值是λ1和λ2，那么A的谱半径就是max(|λ1|,|&...
进一步解释，||A||_2代表矩阵A的最大奇异值，而A = wwT表明A的秩为1，故其奇异值非零部分仅有一个。因此，A的2范数实际上等于其唯一非零奇异值的平方根，即wTw的平方根。而||w||_2代表向量w的2范数，即||w||_2 = 根号下(wTw)。结合上述分析，我们得出||A||_2 = wTw = ||w||_...
要证明矩阵的F范数(Frobenius范数)大于等于2范数(谱范数或最大奇异值范数),我们可以按照以下步骤进行: 首先,我们需要明确两种范数的定义: F范数(Frobenius范数):对于矩阵A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n}A∈Cm×n,其F范数定义为 ∣∣A∣∣F=(∑i=1m∑j=1n∣aij∣2)1/2||A||_F = \left(...
我们需要明确矩阵 2 范数和向量 2 范数的定义。 矩阵2 范数,也称为谱范数或者最大奇异值范数,是指矩阵的所有 特征值的平方根的最大值。对于一个 n×n 的矩阵 A,其 2 范数记为 ∥A∥2,计算公式如下: ∥A∥2 = max{∥Ax∥2 / ∥x∥2},其中 x 为 n 维非零向量。 向量2 范数,也称为欧几里得范数...
接下来,我们证明谱范数公式。谱范数是矩阵的最大奇异值。假设 矩阵 A 的所有奇异值为 σ1, σ2, ..., σn,则谱范数可以表示为 ∥A∥2=σ1。我们需要证明的是∥AB∥2≤∥A∥2∥B∥2。 根据奇异值分解的性质,我们知道矩阵 A 可以分解为 A=UΣV^T,其中 U 和 V 是正交矩阵,Σ 是一个对角矩阵,...
接下来，我们需要证明矩阵A的Frobenius范数小于等于矩阵A的2范数。首先，令矩阵A的列分解为A = Q·Λ·Q^T，其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角矩阵Λ的元素为矩阵A的奇异值。矩阵的2范数定义为矩阵最大奇异值的长度，即||A||2 = max_j(Σ_i |aij|^2)^(1/2)。由矩阵分解的性质可知，...