title: "矩阵的二范数为何等于其奇异值" tags: math 背景 上《线性系统理论》这门课,提到了矩阵的二范数,即等式: ‖A‖2=λmax 然后中文搜了一堆,没有系统地说明怎么得到的。最后在Wikipedia^1中找到了详细推导的来源,也就是这本书[^2]中找到了详细的推导。故记录如下。 Frobenius Matrix Norm 与 Induced...
2.其次,证明2范数是矩阵的最大奇异值。 1. 2范数是矩阵的一个范数,满足以下定义: -非负性:对于任意的矩阵A,2范数总是非负的,即||A||2 >= 0。 -零范数:当且仅当A矩阵的所有元素都为零时,2范数为0,即||A||2 = 0当且仅当矩阵A是零矩阵。 -绝对鲁棒性:对于任意的标量c,2范数满足绝对鲁棒性,...
2.1 奇异值分解法 (Singular Value Decomposition)# 既然谱范数是矩阵A的最大奇异值,那么便可以通过奇异值分解[举例参考]来求解谱范数。 importnumpyasnpA = np.array([2,4],[1,3],[0,0],[0,0])U, s, V = np.linalg.svd(A) 2.2 幂迭代法 (Power Iteration Method)# 幂迭代法[举例参考]核心思想...
矩阵A的2范数为矩阵(A的共轭转置A)最大特征根的平方根。也就是A的最大奇值。感谢评论区同学指正。
求解矩阵二范数的方法有多种,其中比较常用的是基于奇异值分解的方法。 奇异值分解是指将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,即A=UΣV^T,其中U和V都是正交矩阵,Σ是一个对角线上的矩阵,对角线上的元素称为奇异值。矩阵A的二范数就等于奇异值的最大值。 在实际计算中,由于矩阵的奇异值分解比较复杂,因此需要使用...
(1)矩阵的谱范数(诱导L2范数)等于A的最大奇异值,即 \sigma_1 ; (2)A为n*n方阵, |det(A)|=|det(U)||det(\Sigma)||det(V^H)|=\sigma_1...\sigma_n (酉矩阵行列式绝对值等于1) (3)A为m*n矩阵,条件数cond(A)= \sigma_1/\sigma_p,p=min (m,n) 当\sigma_p 为0时,表示奇异矩阵的...
换句话说,矩阵A的2范数的平方等于矩阵A^TA的最大特征值。 至此,我们证明了矩阵2范数的定义以及一些重要性质。 矩阵2范数在许多实际问题中有着广泛的应用。例如,我们可以利用矩阵2范数来度量矩阵的稳定性,判断矩阵的奇异性,设计最优实验设计方案等。此外,矩阵2范数还与矩阵的谱半径、条件数等概念密切相关。 总结起...
当应用于矩阵时,2范数可以诱导出一种称为矩阵2范数(或谱范数)的范数。 给定一个矩阵A,它的2范数(矩阵2范数)可以定义为其最大奇异值(特征值的平方根): ||A||2 = max(σ),其中σ表示A的奇异值。 矩阵2范数有一些重要的性质和应用: 矩阵2范数是非负的,且当且仅当矩阵A为零矩阵时,矩阵2范数等于0。
1.对于任意矩阵A,其2-范数等于其最大奇异值; 2.对于任意矩阵A,其Frobenius范数等于其所有奇异值的平方和的开方。 八、其他相关知识点 除了上述内容外,矩阵范数还有其他一些相关的知识点。 1.矩阵范数的计算:对于特定的矩阵范数,有时可以通过特定的计算方法来计算矩阵的范数,比如在计算2-范数时可以通过奇异值分解来...
那么相应的矩阵A的范数即为当xTx=1时,函数(Ax)T(Ax)=xTATAx的最大值。注意ATA是对称非负定矩阵,...