四、特殊类型矩阵 I 基础技术1、准对角矩阵 2、上(下)三角矩阵 3、对称与反对称矩阵 对称矩阵(1) 性质: 设 A 为实对称矩阵, 则 A^2=O\Leftrightarrow A=O. (2) 性质: 设 A 为实对称矩阵, 则存在常数 c 使得… GROUP打开知乎App 在「我的页」右上角打开扫一扫 其他扫码方式:微信 下载知乎App 开...
则 ATAx=ATA(∑i=1nkiαi)=∑i=1nkiATAαi=∑i=1nλikiαi xTATAx=∑i=1nλiki2≤λ1 其中λ1为ATA的最大的特征根,可知(Ax)T(Ax)≤λ1,即ATA的最大特征值的平方根,即A的最大奇异值。 [^2]: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra [^3]:矩阵奇异值与矩阵范数之间有什么联系? 本文使...
2.其次,证明2范数是矩阵的最大奇异值。 1. 2范数是矩阵的一个范数,满足以下定义: -非负性:对于任意的矩阵A,2范数总是非负的,即||A||2 >= 0。 -零范数:当且仅当A矩阵的所有元素都为零时,2范数为0,即||A||2 = 0当且仅当矩阵A是零矩阵。 -绝对鲁棒性:对于任意的标量c,2范数满足绝对鲁棒性,...
对于任意矩阵A,其矩阵2范数等于A的最大奇异值。奇异值分解法的步骤如下: 1. 对矩阵A进行奇异值分解,得到A=UΣV^T。 2. 矩阵Σ的对角线元素就是A的奇异值σ1,σ2,...,σn。 3. 取Σ对角线上的最大值,即max{σ1,σ2,...,σn},就是矩阵A的2范数。 奇异值分解法适用于任意矩阵,计算过程相对复...
求解矩阵二范数的方法有多种,其中比较常用的是基于奇异值分解的方法。 奇异值分解是指将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,即A=UΣV^T,其中U和V都是正交矩阵,Σ是一个对角线上的矩阵,对角线上的元素称为奇异值。矩阵A的二范数就等于奇异值的最大值。 在实际计算中,由于矩阵的奇异值分解比较复杂,因此需要使用...
一、谱范数# 矩阵的谱范数指的也就是矩阵的2范数,即矩阵A的最大奇异值。 通过上式可知,A的谱范数 = A的最大奇异值 = A^T·A的最大特征值的平方根 // 二、谱范数求解方法# 2.1 奇异值分解法 (Singular Value Decomposition)# 既然谱范数是矩阵A的最大奇异值,那么便可以通过奇异值分解[举例参考]来求解...
当应用于矩阵时,2范数可以诱导出一种称为矩阵2范数(或谱范数)的范数。 给定一个矩阵A,它的2范数(矩阵2范数)可以定义为其最大奇异值(特征值的平方根): ||A||2 = max(σ),其中σ表示A的奇异值。 矩阵2范数有一些重要的性质和应用: 矩阵2范数是非负的,且当且仅当矩阵A为零矩阵时,矩阵2范数等于0。
由于A是正规矩阵，它的奇异值就是其特征值的模。因此，A的2范数，即其最大奇异值，就等于其最大特征值的模，也就是谱半径。综上所述，对于正规矩阵A，其2范数和谱半径是相等的。例子：考虑一个2x2的正规矩阵A，它的特征值是λ1和λ2，那么A的谱半径就是max(|λ1|,|&...
那么相应的矩阵A的范数即为当xTx=1时，函数(Ax)T(Ax)=xTATAx的最大值。注意ATA是对称非负定矩阵，...