最小二乘法是线性代数比较典型的一个应用,可以说其贯穿了线性代数整本书;通过最小二乘法,可以串联线性代数中许多的知识。 在初学线性代数时,我们会用矩阵去解线性方程组,即 Ax_=b_ 。根据矩阵形态的不同,我们大致可以将矩阵分为三种(主要列出满秩的情况): (1)方阵:即 m=n ,如果 m=n=r ,会有唯一解 ...
本文将介绍线性代数基本定理的应用,即最小二乘法。首先,本文将介绍相关的定理和它们的证明,其中包括线性代数基本定理,逼近定理,和正则系引理。 0.1 线性代数基本定理及证明 如果A 是一个 m×n 矩阵, 那么 Row(A)⊥=Null(A)Col(A)⊥=Null(AT) 特别得, ...
最小二乘法的使用场景 在线性方程组Ax=b无解时,用最小二乘法来求近似解。 最小二乘法的公式 ATAx=ATb的解x′(这个方程组一定有解),即为最小二乘法的近似解。 直观理解 直观上,Ax=b有解⟺b 落在 A 的列向量组成的超平面上。求解Ax=b,就是求一组线性组合的系数 x,使得 A 的列向量的线性组合,正...
不等于零,记为(5.4.2)式我们设法找x′1,x′2,···,x′s,使得上式最小,用它作为线性方程组的近似解,这样的x′1,x′2,···,x′s成为方程组的最小二乘解,这种问题叫作最小二乘问题。 下面利用欧式空间的概念来表达最小二乘法,并给出最小二乘解所满足的代数条件。令: 应用空间距离的概念,(5.4...
方程时,如果A的列数太多,混入一些不准确的数据,此时方程时无解的,我们需要求解出最优解。这时候就需要使用最小二乘法来进行拟合。在讲解最小二乘法之前需要一些知识作为铺垫。 一、四个基本子空间 首先我们知道,对于一个 的矩阵 有四个子空间:列空间、行空间、零空间、左零空间。
你这个问题应该是源自于Ax=b,而向量b却不在列空间内(也就是方程无解).这时,在方程无解的情况下要找到最优解,从线性代数的角度来说,就是要最小化所有误差的平方和,要找拥有最小平方和的解(即最小二乘).最小化,就... 分析总结。 这时在方程无解的情况下要找到最优解从线性代数的角度来说就是要最小化...
本文将介绍线性代数中的正交投影和最小二乘法,并探讨它们的应用。 正交投影是指把一个向量投影到另一个向量上,使投影后的向量与另一个向量垂直。在三维空间中,我们可以将一个向量投影到另一个向量所在的平面上。这个过程可以通过向量的内积来实现。具体而言,给定两个向量u和v,我们可以通过计算向量u在向量v上的...
当A线性无关时,在ATAX=0中,需要证明X只有零向量。对ATAX=0等式两侧同时乘以XT: XTATAX = 0 (AX)TAX= 0 矩阵AX的点积为0,也就是AX向量长度的平方为0,说明AX=0,又因为A中所有列线性无关,所以X中只有零向量,于是ATA一定可逆。 下面开始最小二乘法,先来开...
你这个问题应该是源自于Ax=b，而向量b却不在列空间内（也就是方程无解）。这时，在方程无解的情况下要找到最优解，从线性代数的角度来说，就是要最小化所有误差的平方和，要找拥有最小平方和的解（即最小二乘）。最小化，就是把误差向量的长度最小化，而算长度，就会有平方。||Ax-b||^2=...
9-3 使用线性代数实现最小二乘法(下)是day70的第3集视频,该合集共计5集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。