级数收敛与发散 收敛是指当变量在一定的变化过程中,逐渐趋近于一个确定的值,这个值称为极限。例如一个数列,如果当项数 n 无限增大时,数列的通项无限接近某个确定的常数,就称该数列收敛。 发散则是指变量在变化过程中,不趋近于任何确定的值,而是无限增大或在一定范围内无规...
1.1 收敛级数具有可结合性 1.2 绝对收敛级数可交换性 1.3 非绝对收敛级数的情形 1.4 黎曼定理 2. 例题 2.1 完虐ln2级数 0. 引言 级数是无限多项和,而我们前面对于有限多项和了解甚多,并且有限项和存在很多性质, 比如说结合律、交换律等等这些性质,那么对于无限多项和,也就是说级数来说,这些性质是否遵循呢?
例1.1 判断级数 ∑n=1∞1n(n+1) 的敛散性. 解: 注意到 Sn=∑k=1n1k(k+1)=∑k=1n(1k−1k+1)=1−1n+1→1(n→∞), 则原级数收敛. \QED 例1.2 [裴礼文, 例5.1.26]设∑n=1∞an 是正项级数, 满足: (1)∑k=1n(ak−an) 关于n有界; (2)an 单调下降趋于0. 证明级数 ∑n=1∞...
比如判断∑1/(n²+3)时,可对比∑1/n²,因1/(n²+3)<1/n²且后者收敛,故原级数收敛。 积分判别法适合单调递减正项级数。对∑1/n(lnn)²,用积分∫₂^∞1/(x(lnx)²)dx,换元t=lnx得∫(ln2)^∞1/t²dt收敛,故级数收敛。
常用收敛级数 常用收敛级数 下面是一些常用的收敛级数（convergent series）的示例：1.几何级数（Geometric series）： 格式：a + ar + ar^2 + ar^3 + ... 收敛条件：当|r| < 1时，级数收敛。 示例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 是一个收敛的几何级数，其和为2。2.调和级数（Harmonic series...
级数收敛的判别方法如下:一、判定正项级数的敛散性。1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零(如果不易看出,可跳过这一步)。若不趋于零,则级数发散;如果趋于零,则考虑其它方法。2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数。3.用比值判别法或根值判...
1、a<1, 当n趋于无穷,a^n趋于0，一般项1/(1+a^n)趋于1，级数发散。2、a=1 一般项1/(1+a^n)=1/2，级数发散。3、a>1, 1/(1+a^n)<1/a^n。因为1/a<1,级数1/a^n收敛，原级数收敛。所以：a>1收敛，0<a<1，级数发散。
二、函数项级数收敛域求解思路与步骤 因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的,而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定,其实对应的就是常值级数收敛性的判定,所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的...
交错级数 满足莱布尼茨条件(即数列递减且趋于0) 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots 积分判别法 若f(n) 单调递减且非负,且 \int_{1}{\infty} f(n) 也收敛 \sum_{n=1}2}(因为 \int_{1}2} , dx 收敛) 比较判别法 ...
同样设an是正项级数,若lim(an/an+1)存在且为P,则: - 当P<1时,级数收敛。 - 当P>1时,级数发散。 - 当P=1时,此法同样不能确定级数的收敛性。 💡与比值判别法相似,P=1时需谨慎判断。🎉现在,你是否对级数收敛的判别法有了更深入的了解呢?赶快试试这些方法吧!🌟0...