Theorem2.9 一个算子T\in B(X,Y)是紧的,当且仅当他的伴随算子T^*\in B(Y^*,X^*)是紧的。 proof.~\ “\Rightarrow”方向。 设T是紧算子,那么选取y_n^*\in Y有c:=\sup_{n\in\mathbb N}\lVert y_n^*\rVert<\infty。集合K=\overline{T\bar B_X(0,1)}(沿用Y的范数)是一个紧的度量...
在算子论中，谱指的是线性算子特征值的集合。对于一个线性算子T，由其特征值所组成的集合称为谱。谱可分为点谱、连续谱和剩余谱三类。点谱包含了算子所有的特征值，连续谱包含了无穷多个特征值，而剩余谱则是其他特征值的集合。谱理论的研究对象主要是线性算子的谱性质，包括谱半径、谱集、谱包络等。通过对谱...
谱理论是算子理论中研究算子本征值和本征向量的一门学科。在谱理论中,我们主要关注的是线性算子的谱分解和谱集合的性质。线性算子的谱是指满足特定条件的本征值的集合,而谱集合则是指具有特定性质的谱的集合。 谱理论的研究对象主要是有界线性算子和紧算子。对于有界线性算子,谱可以分为点谱、连续谱和剩余谱三种类...
在希尔伯特空间中,算子的谱是其性质的重要表征。算子的谱是其所有特征值的集合,加上所有没有特征值的极限点。谱理论是算子理论的一个重要分支,它研究算子的谱及其性质,并将其应用于数学的许多领域,如量子力学、统计学和分析学等。 #谱的定义 给定一个有界线性算子$T$,其谱$\sigma(T)$定义为复平面上所有不能...
对于Hilbert空间上的自伴随算子T,我们可以将之推广到一切f\in C(\sigma(T)),这里\sigma(T)\subseteq\mathbb C是算子T的谱,C(\sigma(T))是指在这个谱上连续的全体函数。具体来说: Theorem4.15 设有Hilbert空间X和其上的自伴随算子T\in B(X)。那么存在唯一的映射\Phi_T:C(\sigma(T))\to B(X):f\...
本书对 Hilbert 空间上算子谱理论中的最新成果如 Weyl 定理和 Browder 定理也进行了讨论。 全书共分 5 章: 1. 预备知识, 符号与术语、 反问题、 正交结构、 正交投影、 伴随算子、 正规算子、 正交特征空间、 紧算子和附加的预备知识;2. 谱论, 谱的基本性质、 谱的经典划分、 谱映射、 谱半径、 数值半径...
一、谱理论的基本概念 谱理论是研究算子谱结构和性质的数学理论。在介绍谱理论之前,我们首先需要了解算子的基本概念。 1.算子 在数学中,算子是将一个集合映射到另一个集合的运算。算子可以是线性的也可以是非线性的,常见的算子有线性算子、紧算子、自伴算子等。 2.谱 在算子理论中,对于给定的算子A,其谱是指使...
紧算子的谱理论笔记：紧算子的定义：紧算子是指在线性空间中，任意有界序列经过该算子作用后，都存在收敛子列的线性映射。另一种等价定义是，算子在给定空间中的像集是相对紧的。紧算子的性质：闭子空间性质：紧算子的像集是闭的。组合性质：若两个算子中至少有一个是紧的，则它们的和或积也是紧的...
线性算子的谱还反映了线性算子有没有逆算子；在什么范围有逆算子（有没有解，是否唯一），逆算子是否连续（解是否稳定）等一系列问题。在实际应用中，谱理论可以用来分析信号的频谱特性、提取信号的特征等。例如，在图像处理、语音识别等领域，信号通常可以表示为线性算子的本征值和本征向量。
函数的闭合算子与谱理论有着密切的关系。谱理论是研究算子的谱的数学分支。算子的谱是指算子作用于函数空间时所产生的所有可能的值的集合。 谱理论可以用来研究函数的闭合算子的性质。例如,谱理论可以用来确定函数的闭合算子的逆算子是否存在。谱理论还可以用来研究函数的闭合算子的稳定性。 4. 函数的闭合算子在物理学...