首先我们证明第一点的前半部分,0一定是谱。如果0不是谱,那么0I-K=K可逆,则I=K^{-1}K是紧的(紧算子和有界线性算子的复合是紧的,prop.2.4),矛盾。 下面先证明第二部分,对\lambda\in\mathbb F\setminus\{0\},我们有\lambda I-K=\lambda(I-\frac{1}{\lambda}K)。根据Riesz-Schauder定理(定理2.12)...
紧算子的谱理论是谱理论的一个分支，它研究的是紧算子的性质。紧算子是一种线性算子，它在某种意义上是“紧凑”的，即它的谱半径在某个范围内。紧算子的谱理论与其他数学理论的不同之处在于，它研究的对象是一种特殊类型的线性算子，而不是一般意义上的线性算子。
紧算子理论在泛函分析中占据重要地位，涉及紧算子的性质、实例、与伴随算子的关系、Fredholm算子与本质谱的研究。理解紧算子的谱理论对深入学习泛函分析及应用具有重要意义。
本文之所以是小记,因为是把Lax泛函分析中的17和21章一些基础但重要的内容摘了出来,其中包括Banach代数,预解集和谱集,谱分解定理,紧算子及其谱理论。 谱理论和紧算子都是非常深刻且成熟的理论,对于基础数学而言,这方面的研究是算子代数的起源之一;而对于应用而言,接下来会看的一本和“统计反向问题的书”开篇便是在...
这一篇算是本科层次的泛函分析到算子代数的一个过渡,为了更符合算子代数的符号使用习惯对原来的符号系统进行了一部分调整。 有限秩算子和紧算子:有限秩算子和紧算子的定义;Hilbert空间的逼近性质; 紧算子的谱性质:谱集、预解集、点谱集;预解式和预解方程;谱半径、谱半径定理;算子 ...