流形上的微积分是微分几何的重要工具,用于在具有曲率的非欧几里得空间中推广传统微积分运算。其核心思想是通过局部坐标映射和几何结构的定义(如度
一.流形的定向 二.流形上的积分 声明:此篇笔记摘自我在B站听梁灿彬老师的《微分几何与广义相对论》课程时所做的笔记,视频链接:【微分几何入门与广义相对论-梁灿彬(详细标题版)-哔哩哔哩】 b23.tv/4AJY72P 一.流形的定向 三维欧氏空间中有方向的概念,从而可以引入曲线积分和曲面积分,那我们可否把积分也引入到流...
标量函数在流形上的积分 定义 为了简单起见,我们仅考虑紧流形,以下不再重复这一点。通过单位分解可以类似地定义广义积分。 对紧流形 M⊆Rn ,存在由 M 的有限图册 αi:Ui→Vi 决定的光滑紧支单位分解 {ϕi} ,满足 suppϕi∩M⊆Vi 。现在对 f∈C(M;R) ,定义标量函数的积分 ∫MfdV=∑i∫Ui∘...
流形上的积分 设 是 维定向流形 上的右手坐标系, 为开子集 上的连续 形式场,则定义 在 上的积分定义为: , 式中 是 形式场 用对偶坐标基底展开时的分量,且省略了抽象指标。可证明这样定义的积分若选取的右手坐标系则只会相差一个负号。 设 为
流形是一种具有局部欧几里得结构的拓扑空间,它在物理、几何学和拓扑学等领域中有广泛的应用。流形上的微积分为我们理解和解决许多实际问题提供了有力的工具。 首先,让我们来了解一下什么是流形。简单来说,流形是一个具有光滑结构的空间,局部上看起来像欧几里得空间。比如,地球表面就是一个二维流形,由许多局部上看...
第5章 流形上的积分
1. 流形上的微积分——Stokes公式 下面我们考虑微分形式在可定向流形上的积分. 为此设为维(带边)流形且在上给定了一个定向 , 设为上具有紧支集的次微分形式 , 即支集 为紧致集合 , 进而假设下面出现的局部坐标系均与给定的定向相...
流形上的Stokes..在微积分里我们知道,定义在开集U⊆R上的任一连续函数均存在原函数F. 自然地,我们会问: 定义在U⊆R^2上的光滑函数(为了简化问题把连续性加强了)是否同样存在原函数F?答案是否定的,下面是反例
定义k 形式ω 在定向流形 M 上的积分为∫Mω:=∑i=1ℓ∫Mϕiω=∑i=1ℓ∫Ui∘αi∗(ϕiω), 其中第二个等号来自于上篇文章中定义的形式的积分。 (验证其存在性:考虑到 ϕiω 紧支,不妨设 Ui 有界。 αi∈C∞(Ui) 意味着 α 能扩张为 Ui 开邻域 U~i 上的C∞ 映射,进而 αi...
流形是一类特殊的空间,它可以用局部坐标系来描述。简单来说,流形是一种“弯曲”的空间,可由多个局部的欧式空间坐标系来逼近。比如,我们可以将地球表面视为一个二维流形,它可以在局部被平面坐标系来近似描述。 流形上的微积分涉及到在流形上定义函数、求导、积分等操作。由于流形的特殊性,我们需要使用一些额外的工具...