+y_2=5c_1e^(2t)+c_2e^(-t) x_2=-2y_1+y_2=-2C_1e^(2t)+C_2e^(-t) 又x_1(0)=5(_1+C_2=8 x_2(0)=-2(_1+C_2=5 则C_1=3/7 (C_2=(41)/7 故x_1(t)=(15)/7e^(2t)+(41)/7e^(-t) x_2(t)=-6/7e^(2t)+(41)/7e^(-t)知识点:矩阵相似、常微分方程 ...
2.求解非齐次微分方程 将上一步的通解代入微分方程,得到: $$\sum_{i=1}^nc_i\left(\frac{d\mathbf{X}_i(t)}{dt}e^{\int \lambda_i(t)dt}+\mathbf{X}_i(t)e^{\int \lambda_i(t)dt}\lambda_i(t)\right)=\mathbf{F}(t)$$ 解得$c_i$,带入通解即可得到矩阵微分方程的解。©...
那么,对于线性微分方程组 我们令 于是有矩阵方程 我们的目标是把A变成相似的对角矩阵,从而简化计算 我们首先求出A的特征值和特征向量 A的特征多项式为 F(λ)=det(λI−A),等于0时解得A的特征值λ 解线性方程组(λI−A)X=0,得到线性无关的特征向量组成的矩阵ξ ...
类比二阶常系数微分方程,上述矩阵方程有通解: \mathbf{X}=\mathbf{A}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\phi)}=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\phi)}\\ 代入(6.2)式可得: -\omega^2\mathbf{A}=\mathbf{M}\mathbf{A}\Rightarrow (\mathb...
本文将探讨矩阵微分方程的解法,包括常微分方程和偏微分方程两种情况。 常微分方程的解法 一阶常微分方程 对于形如 的一阶常微分方程,可以通过分离变量的方法求得解。将方程变形为 ,然后将变量分离得到 。对两边同时积分,得到 ,其中 为常数。最后求解出 和 之间的关系。 二阶常微分方程 对于形如 的二阶常微分...
总的说来,矩阵解微分方程组主要分为两个步骤:线性化与求解。首先,我们将微分方程组线性化,这通常意味着将非线性方程在某一点附近进行泰勒展开并忽略高阶项,得到一组线性方程。然后,我们使用矩阵来表达这组线性方程,并求解。具体来说,假设我们有一个包含n个微分方程的系统,可以写成如下形式: dydt=Ay+b(t)dydt=...
解方程 一阶线性非齐次常系数常微分方程组 令 方程组化为矩阵方程 采用常数变易法求解之;齐次方程的解为 ,可设非齐次方程的解为 , 代入方程,得: 由积分性质(3)可验证c(t)是解。 加上初始条件 ,有 说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理, ...
1、给你一个微分方程组，第一步先写好系数矩阵A，变量矩阵x，误差矩阵f(t)，以及初值矩阵x0代入方程...
2.常系数线性齐次微分方程组的矩阵形式 假设我们有一个常系数线性齐次微分方程组,形如: y'=Ay 其中,y是一个向量函数,A是一个n×n的常数矩阵,y'是y的导数。 为了求解该方程组的解向量y,我们可以把方程组写成矩阵形式: y'-Ay=0 或者 y'-Ay=O 其中,O是一个n×n的零矩阵。 3.矩阵的特征值和特征向量...
求基础解系$x_1,x_2,\cdots,x_n$的方法可以分为两种:一种是代数法,使用高斯消元法将矩阵$A$化为最简形,然后就可以求出基础解系;另一种是矩阵法,使用矩阵的特征根和特征向量来求解基础解系。 2.2非齐次线性微分方程组的解法 对于非齐次线性微分方程组$Ax=b$,其解法可以分为两步:第一步是求出其通解...