向量范数和矩阵范数 向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范数）。1.欧几里得范数（L2范数）：对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，它的欧几里得范数定义为||x||2=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)。它表示...
相较而言,向量范数更容易定义(因为向量包含的元素更少),因此先定义了很多向量范数。定义向量范数后,通过如下定义方法“引导“得到了矩阵的范数。 若||x||∗ 是向量x的*范数,则相应的,矩阵的*范数定义为 这里,A是一个矩阵,但是Ax是一个向量,可以直接借用向量的*范数。 这种定义矩阵范数的方法是通过向量范数引...
所以矩阵存在一范数,无穷范数与F范数: F范数与1范数具有相容性条件,而无穷范数不具有相容性条件。 从矩阵范数对应到向量范数: 矩阵范数大于等于特征值: 为了探究从向量范数到矩阵范数的对应关系,先引出以下两个引理: 可以定义: 依旧具有相容性: 注意区分1与无穷的区别!! 1是列和范数,无穷是行和范数,2是谱范数。
第五章向量范数和矩阵范数 §1、向量范数 对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。对于n维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。
1 范数 在研究代数方程组的迭代求解及其收敛性的过程中,向量范数和矩阵范数是十分重要且有用的概念。范数又可以称为模。向量范数和矩阵范数用于描述向量和矩阵的大小。 1.1 向量范数 1.1.1 定义 范数本质是由向量或者矩阵映射到实数域的单值函数。定义如下: ...
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。以2-范数为例,对于一个向量x,它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根,即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。 矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。首先,对于一个n维向量x,可以将其看作是一个n×1的矩阵。此时,向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。例如...
范数可以用来度量向量或矩阵的大小,也可以用来衡量它们之间的距离。在本文中,我们将讨论向量和矩阵的范数。 二、向量范数 1. 定义 向量范数是一个函数,它将一个向量映射到一个非负实数。它满足以下条件: (1)非负性:对于任意的向量x,有||x||≥0; (2)齐次性:对于任意的标量α和向量x,有||αx||=|α|...
说明说明:矩阵乘法:矩阵乘法 1201A10 x 10Ax 由矩阵范数的定义由矩阵范数的定义 0maxxAxAx 有有相容性条件相容性条件 Rnx ,Rn nA , xAxA AxA x 矩阵范数的性质矩阵范数的性质 (1)Rn nA ,0A ,当且仅当0A时,0A (非负性非负性) 。(2)R ,有AA(齐次性齐次性) 。(3),Rn nA B,有ABAB(三角不等式...
6.6向量范数和矩阵范数 在很多实际问题中，我们需要对向量和矩阵的大小引进度量，这些度量便是向量与矩阵范数的概念。6.6.1向量范数约定：用Rn表示所有n维实的列向量x(x1,x2,,xn)T的实线性空间。在Rn上引入向量范数的定义如下：定义6.2：Rn上的向量范数是定义在Rn的某个实值函数.，它满足如下的三个...
一般向量有∞-范数、1-范数和2-范数的概念对于向量x,∞-范数写为||x||∞,1-范数写为||x||1,2-范数写为||x||2||x||∞是x的所有元素绝对值中的最大值;1-范数是x的所有元素绝对值的和2-范数是先对x是所有元素求平方和,再开平方即是更一般的是写作p-范数形式,p可以取1、2和∞矩阵的范数和向量...