Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积的方法,具有计算简单、数值稳定等优点,广泛应用于求解线性方程组、卡尔曼滤波、贝叶斯推断等。 假设A 是一个 n\times n 的对称正定矩阵,可以将 A 分解为 A=LL^\top 的形式,其中 L 是一个 n\times n 的下三角矩阵。具体地, L 的每个元...
左中右三个矩阵就分别对应三个需要证明的矩阵。 4.极分解(\text{Polar decomposition}) 含义:对一个满秩实方阵A,存在半正定矩阵S和正交矩阵Q使得A=QS 证明:首先,根据半正定矩阵A^TA的性质,我们令半正定矩阵Y满足Y^2=A^TA 然后,我们代入定义,得到 ATA=STQTQS=STS=S2 如果S≠Y,那么根据半正定矩阵的性质,...
1.矩阵是方阵(LU分解主要是针对方阵); 2.矩阵是可逆的,也就是该矩阵是满秩矩阵,每一行都是独立向量; 3.消元过程中没有0主元出现,也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。 2.QR分解 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解: 这其中, Q Q Q为正交矩...
二、常见方法 1.奇异值分解(SVD) 奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值,而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。 2.QR分解 QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵...
则得=LU。即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。 二、矩阵的QR(正交三角)分解 定义:如果实(复)非奇异矩阵能化成正交(酉)矩阵Q与实(复)非奇异上三角矩阵R的乘积,即=QR,则称上式为的QR分解。 定理2:任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q和上三角形矩阵R的乘积,且除去相差一...
1、LU分解 可以说是最简单的矩阵分解方法,将矩阵A分解成L(下三角)矩阵和U(上三角)矩阵的乘积。其实就是高斯消元法的体现,U矩阵就是利用高斯消元法得到的,而消元过程用到的初等变换矩阵乘积就是L矩阵。需要注意的是,L矩阵可以是置换过的矩阵,即一个下三角矩阵和一个置换矩阵的乘积(可以参考MATLAB中LU分解的...
1.矩阵因子模型(潜在因子模型) 假设,我们现在有一个用户u对商品i的程度矩阵,浏览是1,搜索是2,加车是3,下单是4,付款是5: 用户商品矩阵 实际情况下,用户不可能什么商品都买,所以,该矩阵必然是一个稀疏矩阵,任意一个矩阵必然可以被分解成2个矩阵的乘积: ...
综上所述,奇异值分解(SVD)是一种常用的矩阵分解技术,通过将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,可以实现对矩阵的降维和特征提取。SVD在数据处理和机器学习领域有广泛的应用,包括数据降维、图像压缩、推荐系统和主题建模等。通过SVD,我们可以减少数据的维度、提取关键特征,从而简化计算和存储,并且能够更好地理解和利用数据。
在本文中,我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法,并讨论它们的应用和优势。 一、LU分解 LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。通过LU分解,我们可以方便地求解线性方程组,计算逆矩阵等操作。LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现,如下所示: [ A ] = [ L ] [ U ] 其中,[...