三、矩阵分解 3.1 特征分解(ED) 3.2 奇异值分解(SVD) 3.2.1 如何计算 3.2.2 例题 3.2.3 物理意义 3.3 应用 矩阵乘法:线性变换,对向量进行旋转和长度伸缩,效果与函数相同;特征向量:指向只缩放不旋转的方向;特征值:即缩放因子;旋转矩阵无实数特征向量和特征值。 一、特征值和特征向量 1.1 定义 若对于N阶矩阵...
矩阵的三角分解 三角分解定义 设\( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) ,如果存在下三角矩阵 \( L \in \mathbb{C}^{n \times n} \) 和上三角矩阵 \( R \in \mathbb{C}^{n \times n} \) ,使得 \[ A = LR \] 则称上述分解为\( A \) 的三角分解,或称 \( A \) 可三角分解。
1.矩阵是方阵(LU分解主要是针对方阵); 2.矩阵是可逆的,也就是该矩阵是满秩矩阵,每一行都是独立向量; 3.消元过程中没有0主元出现,也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。 2.QR分解 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解: 这其中, Q Q Q为正交矩...
非负矩阵分解(nonnegative matrix factorization)的当前研究(自2010年起)包括但不限于 1.算法:搜索因子的全局最小值和因子初始化。 2.可扩展性:如何对百万到亿万的矩阵进行分解,这在Web级数据挖掘中很常见,例如,参见分布式非负矩阵分解(Distributed Nonnegative Matrix Factorization,DNMF)和可扩展非负矩阵分解(Scalab...
矩阵分解: 矩阵分解被列为20世纪科学与工程领域10大顶尖算法: 其中最重要的矩阵分解算法包括NMF(非负矩阵分解),SVD(奇异值分解),随机SVD,PCA(主成分分析)和健壮PCA。 下面将会通过几个示例来展示矩阵分解的强大作用。 1.通过NMF和SVD构建主题模型 SVD: ...
一类矩阵分解如果只有 userId 和 movieId,请使用此选项。 这种建议风格基于共同购买方案,或经常一起购买的产品,这意味着它将根据自己的采购订单历史记录向客户推荐一组产品。>试试看 场感知分解机当你拥有除 userId、productId 和评级以外的更多功能(例如产品说明或产品价格)时,请使用此选项提出建议。 此方法还使用...
常见乘法分解 LU分解 LU分解, 故名思议就是, 把矩阵分成下三角矩阵(Lower)和上三角矩阵(Upper)的一种分解。 所以LU分解只用到了三角矩阵。 当然更进一步, 可以要求是一个稍微特殊点的三角矩阵, 就是下三角矩阵L对角线全1, 或者上三角矩阵U对角线元素全部为1. ...
利用特征值和特征向量，我们可以将一个正方形矩阵A分解如下。Q是一个矩阵，其列中有特征向量：是大写的lambda，是一个对角矩阵，其对角线元素是特征值：我们将特征值按降序排列，以使对角矩阵Λ唯一。为了证明这种特征分解是可能的，我们稍微调整方程：而我们将证明AQ=QΛ为真。换句话说，AQ等同于矩阵Q内的每个...
I. 奇异值分解(Singular Value Decomposition) 1. 定义 Singular Value Decomposition (SVD)是线性代数中十分重要的矩阵分解方法,被称为“线性代数的基本理论”,因为它不仅可以运用于所有矩阵(不像特征值分解只能用于方阵),而且奇异值总是存在的。 SVD定理设一个矩阵(A^{m×n})的秩为(r∈0,min(m,n)),矩阵(...
1. 根据矩阵的等价标准形, 可以得到很多结论, 这类题目的特点是: 条件啥都没有, 或者只已知矩阵的秩: 2. 通过施密特正交化, 可以证明任意实可逆矩阵均可分解为一个正定矩阵与一个对角元均大于零的上三角矩阵的乘积, 并且这种分解还是唯一的. 同理, 在复数域上可知: 任意可以...