从已知的一些群出发可以构造出新的群,其中最简单的途径就是直和与直积的构造。 定义1:设 G1,G2 是群,在笛卡尔积 G1×G2 上定义运算为按分量进行,即对于 (a1,b1),(a2,b2)∈G1×G2 ,定义 (a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,b1b2) 则G1×G2 在此运算下构成群(读者自证不难),称为 G1 与G2 的(外)直和
直积和直和 直积和直和 直积是指将两个集合中的元素依次配对，得到一个新的集合。例如，若集合A={a,b}，集合B={1,2}，则A×B={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}。直和是指将两个集合中的元素并在一起，得到一个新的集合。例如，若集合A={a,b}，集合B={1,2}，则A⊕B={a,b,1,2}。...
同理,G×G~对于这个运算成为一个群,其单位元(也称为零元)为(0,0~),其中0,0~分别为G,G~的单位元(即零元);(g,g~)的负元为(−g,−g~).此时群G×G~称为群G和G~的直和,记做G⊕G~. 直积G×G~与G~×G同构,这是因为(g,g~)→(g~,g)是G×G~到G~×G的一个群同构映射. 容易验证...
(ΠF_i)_0 = colim Z^n = ΣZ ≠ΠZ = Π(F_i)_0. 这说明层的直积的茎不等于层的茎的直积。 层作为预层的直和可能不是层,主要是因为直和相当于紧支函数,它在非紧空间内不能粘合,类似的例子还有层的张量积;层的直积可能不保持茎,主要是直积缺少有限性条件约束,可能不与正向极限交换,类似的例...
在直和空间中的加法单位元（零矢量）是 OO(1)O(2)式中O（1）和O（2）分别是R1和R2中的加法单位元。数乘：()aaa （5.2）内积：()()（5.3）如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。容易证明上述定义满足(1)~(12)的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间R，我们...
这里两个基之间仅仅进行并集操作，不做任何运算。在物理，尤其量子力学中，“直积”通常指的是张量积而非数学上的直积。物理学家认为，张量积空间维度n是两个空间维度的乘积，形象地称为“直积”。然而，这种理解是错误的。为了消除混淆，数学与物理领域应明确使用“直和”和“张量积”这两个术语。
直积： 有限情况下：直积允许每个空间的元素自由组合，无论多少分量都不设限。可以看作是无尽的可能性拼图，全面展示了所有可能的组合方式。 无限情况下：直积是无限空间的全面并置，包含了所有可能元素的组合，没有分量数量的限制。直和： 有限情况下：直和与直积在有限情况下实际上是相同的，但直和...
矢量空间的直和与直积 有时需要由两个已知的矢量空间R1和R2构造一个更大的矢量空间R。这里我们讨论两种构造方法：空间的直和 空间的直积§5.1空间的直和一、定义设矢量空间R1中的矢量是|,|,,算符是A,B,矢量空间R2中的矢量是|,|,,算符是L,M,现在由此构造直...
今天我们继续介绍抽象代数基础篇中的模的直积与直和、自由模、投射模、不变基数环。 18.1 模的直积与直和 模的直积 如果 是一族 -模,其中 是指标集,则它们的直积(direct product)是 ,其加法和数乘定义为按分量进行加法和数...
0) 缘起 1) 背景 2) 从李代数的分解开始 3) 从su(2)的直和到SU(2)的直积 0) 缘起 一切源于一位愚人作为初学者时的一个疑问: 狄拉克旋量看起来明明也有4个分量,却并不是四维时空中的4-矢量,也不满足4-矢量的洛仑兹变换,如何从群论的角度来理解? 对于聪明人而言,想明白这个关系只是一层窗户纸的事情...