从已知的一些群出发可以构造出新的群,其中最简单的途径就是直和与直积的构造。 定义1:设 G1,G2 是群,在笛卡尔积 G1×G2 上定义运算为按分量进行,即对于 (a1,b1),(a2,b2)∈G1×G2 ,定义 (a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,b1b2) 则G1×G2 在此运算下构成群(读者自证不难),称为 G1 与G2 的(外)直和
直和与直积 直和和直积是线性代数中的两个重要概念。直和是指将两个或多个向量空间直接相加而得到的新的向量空间,而直积是指将两个或多个向量空间直接相乘而得到的新的向量空间。两者在性质和应用上都有很大的不同。 在直和中,每个向量都可以表示为两个或多个向量的和,而在直积中,每个向量都是由每个向量...
0) 缘起 1) 背景 2) 从李代数的分解开始 3) 从su(2)的直和到SU(2)的直积 0) 缘起 一切源于一位愚人作为初学者时的一个疑问: 狄拉克旋量看起来明明也有4个分量,却并不是四维时空中的4-矢量,也不满足4-矢量的洛仑兹变换,如何从群论的角度来理解? 对于聪明人而言,想明白这个关系只是一层窗户纸的事情...
(ΠF_i)_0 = colim Z^n = ΣZ ≠ΠZ = Π(F_i)_0. 这说明层的直积的茎不等于层的茎的直积。 层作为预层的直和可能不是层,主要是因为直和相当于紧支函数,它在非紧空间内不能粘合,类似的例子还有层的张量积;层的直积可能不保持茎,主要是直积缺少有限性条件约束,可能不与正向极限交换,类似的例...
直积： 有限情况下：直积允许每个空间的元素自由组合，无论多少分量都不设限。可以看作是无尽的可能性拼图，全面展示了所有可能的组合方式。 无限情况下：直积是无限空间的全面并置，包含了所有可能元素的组合，没有分量数量的限制。直和： 有限情况下：直和与直积在有限情况下实际上是相同的，但直和...
在群论的世界里，从已知的群出发，我们可以通过直和与直积的方式构造出新的群，这是理解群结构的重要手段。首先，我们来看一下这两种构造方法的定义。定义一：直和 假设我们有一个群 \( G \)，在笛卡尔积 \( G \times G' \) 上定义一种新的运算，其规则是按分量相乘，即对于任意 \( (g,...
间中一个矢量与R2空间中一个矢量放在一起（不记次序），例如 与放在一起，我们用下列特殊记号表示：，它们分别称为矢量与的直和，或与的直和。这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。定义这个空间中的三种运算：加法：()()()()（5.1）在直和空间中的加法单位元（零矢量）是 OO(1)O(2)式中O（...
矢量空间的直和与直积 有时需要由两个已知的矢量空间R1和R2构造一个更大的矢量空间R。这里我们讨论两种构造方法：空间的直和 空间的直积§5.1空间的直和一、定义设矢量空间R1中的矢量是|,|,,算符是A,B,矢量空间R2中的矢量是|,|,,算符是L,M,现在由此构造直...
今天我们继续介绍抽象代数基础篇中的模的直积与直和、自由模、投射模、不变基数环。 18.1 模的直积与直和 模的直积 如果 是一族 -模,其中 是指标集,则它们的直积(direct product)是 ,其加法和数乘定义为按分量进行加法和数...
直积是范畴理论中的product，代表着一种普遍的构造方式，它揭示了两个或多个对象之间的自然关联。相反，直和作为coproduct，展示了对象之间的分解关系。在线性空间这样的Additive Category中，有限个对象的直积和直和实际上是同一概念，这就容易产生混淆，但其实它们各自代表了截然不同的数学思想。总的来说...