从已知的一些群出发可以构造出新的群,其中最简单的途径就是直和与直积的构造。 定义1:设 G_1,G_2 是群,在笛卡尔积 G_1\times G_2 上定义运算为按分量进行,即对于 (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in G_1\times G_2 ,定义…
直和与直积 直和和直积是线性代数中的两个重要概念。直和是指将两个或多个向量空间直接相加而得到的新的向量空间,而直积是指将两个或多个向量空间直接相乘而得到的新的向量空间。两者在性质和应用上都有很大的不同。 在直和中,每个向量都可以表示为两个或多个向量的和,而在直积中,每个向量都是由每个向量...
同理,G×G~对于这个运算成为一个群,其单位元(也称为零元)为(0,0~),其中0,0~分别为G,G~的单位元(即零元);(g,g~)的负元为(−g,−g~).此时群G×G~称为群G和G~的直和,记做G⊕G~. 直积G×G~与G~×G同构,这是因为(g,g~)→(g~,g)是G×G~到G~×G的一个群同构映射. 容易验证...
(ΠF_i)_0 = colim Z^n = ΣZ ≠ΠZ = Π(F_i)_0. 这说明层的直积的茎不等于层的茎的直积。 层作为预层的直和可能不是层,主要是因为直和相当于紧支函数,它在非紧空间内不能粘合,类似的例子还有层的张量积;层的直积可能不保持茎,主要是直积缺少有限性条件约束,可能不与正向极限交换,类似的例...
01:46:33 抽象代数第二讲(绪论二) 01:46:57 抽象代数第一讲(绪论一) 01:56:12 抽象代数第三讲续集(循环群) 47:03 抽象代数第四讲(对称群) 01:01:53 抽象代数第五讲(n元对称群) 01:18:04 抽象代数第六讲(子群与Lagrange定理) 01:27:12 抽象代数第七讲(群的直积与直和) 36:04 38...
直积是范畴理论中的product，代表着一种普遍的构造方式，它揭示了两个或多个对象之间的自然关联。相反，直和作为coproduct，展示了对象之间的分解关系。在线性空间这样的Additive Category中，有限个对象的直积和直和实际上是同一概念，这就容易产生混淆，但其实它们各自代表了截然不同的数学思想。总的来说...
在抽象代数中,群的直积和直和是两个重要的概念。直积是通过在n个群的笛卡尔积上定义运算来构造的新群,可以看作是由已知群生成的新群。同时,一个群的子群也可以生成新的群。接下来,我们讨论这个新群的性质,以及它与子集族的关系。为了简化群的研究,我们可以将一个群表示成其正规子群的乘积,即直和。这就像在...
今天我们继续介绍抽象代数基础篇中的模的直积与直和、自由模、投射模、不变基数环。 18.1 模的直积与直和 模的直积 如果 是一族 -模,其中 是指标集,则它们的直积(direct product)是 ,其加法和数乘定义为按分量进行加法和数...
在群论的世界里，从已知的群出发，我们可以通过直和与直积的方式构造出新的群，这是理解群结构的重要手段。首先，我们来看一下这两种构造方法的定义。定义一：直和 假设我们有一个群 \( G \)，在笛卡尔积 \( G \times G' \) 上定义一种新的运算，其规则是按分量相乘，即对于任意 \( (g,...
间中一个矢量与R2空间中一个矢量放在一起（不记次序），例如 与放在一起，我们用下列特殊记号表示：，它们分别称为矢量与的直和，或与的直和。这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。定义这个空间中的三种运算：加法：()()()()（5.1）在直和空间中的加法单位元（零矢量）是 OO(1)O(2)式中O（...