本文介绍Taylor展开的各种余项形式及其证明。 背景 依Taylor展开,我们有: f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x) 余项即是其中的Rn(x)。 余项的形式不同,所依赖的f光滑性亦有差异。 Peano余项 (1)若f(x)在x=x0处n阶可导(实际上只需要n阶单侧可导即可),则 Rn(x)=o((x−x0)n) (2)...
(1)佩亚诺(Peano)余项: (2)拉格朗日余项: (3)柯西余项: 3.带佩亚诺余项(Peano)的麦克劳林公式 常用公式有: 本文主要介绍泰勒展开,泰勒公式,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒展开在考研...
泰勒展开公式的余项是指用多项式逼近原函数时,多项式与原函数之间的差别。余项的大小决定了逼近的精度,因此余项的计算在泰勒展开公式中十分重要。 泰勒展开公式的余项通常使用拉格朗日余项或者佩亚诺余项进行计算。拉格朗日余项是基于拉格朗日中值定理,通过将余项表示为函数在某一点的导数来计算。而佩亚诺余项则是基于佩亚诺余项...
泰勒公式的余项类型主要有两种:拉格朗日余项和皮亚诺余项。 拉格朗日余项(Lagrange Remainder) 拉格朗日余项是最常见的余项形式,它给出了泰勒公式近似误差的一个明确表达式。对于一个在点 ( a ) 附近 ( n ) 阶可微的函数 ( f(x) ),其在点 ( x ) 的泰勒展开的拉格朗日余项可以表示为: [ R_n(x) = \frac...
泰勒公式的余项类型通常有以下几种: 1.拉格朗日余项(Lagrange remainder):也称作Peano余项,是泰勒展开的最常见的余项类型。拉格朗日余项形式如下:Rn(x) = f^(n+1)(c) * (x-a)^(n+1) / (n+1)!其中,f^(n+1)(c)表示函数f在[a, x]之间的某个点c处的(n+1)阶导数。 2.带有带有佩亚诺余项(Peano...
应该选D,首先如果liman/bn=0,那么an就称为bn的高阶无穷小,根据泰勒公式中余项的意义,余项应该是比展开式中具有最高次幂那一项(也就是最后一项)高阶的无穷小,在n阶泰勒展开式中最后一项就是cn(x-x0)^n(cn为系数),所以比这一项更高阶的无穷小Rn应满足极限等式limRn/(x-x0)^n=0。通常Rn都写为c(n+...
A. R_n(x) = f^(n+1)(ξ)(x - a)^(n+1)/(n+1)! B. R_n(x) = f^(n)(ξ)(x - a)^n/n! C. R_n(x) = f^(n)(a)(x - a)^n/n! D. R_n(x) = f^(n+1)(a)(x - a)^(n+1)/(n+1)! 相关知识点: 试题...
而泰勒公式中的余项是这个公式的一个重要组成部分,它可以描述展开式和原函数之间的误差大小,从而帮助我们更好地理解函数的特性。 在泰勒公式中,余项指的是展开式和原函数之间的误差,即用展开式近似表示原函数时的误差。一般地,我们可以将余项表示为$f(x)$在$a$点的Taylor级数展开式的剩余部分: $$R_n(x)=f...
皮亚诺型余项为Rn(x) = o(x^n)；因此再展开时候只需根据要求。如果是展为带皮亚诺余项的泰勒公式则展为：如果是展为带皮亚诺余项的麦克劳林公式则令上式a=0展为：
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