其余项R(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理:设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n+1次可导,则对任何x,x0∈[a,b],都有(*)式成立,且(#)式成立,其中ξ介于x和x0之间.证明如下证明:作辅助函数φ(t)=f(x)-Σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!于是φ(t)在[x,x0]或[x0,...
解:因为 \displaystyle (\sin x)^{(n)} = \sin (x+\frac{n}{2}\pi) ,故带拉格朗日余项的泰勒公式应为:\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3+\dots+ \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1} + \frac{\sin(\xi + \frac{2k+1}{2}\pi) }{(2k+1)!}x^{2k+1} \\ 即\sin x...
定理:(泰勒公式的拉格朗日余项),若f\in C^{(n+1)}[a,b],则对于闭区间[a,b]上的任意点x_0,x,有: f(x) = \sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i + R_n(x) \;\; (2.2) 其中: R_n(x) = \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{(n+1)} ...
泰勒公式只是展开到n项,后面因为太小了可以忽略不计,所以写成余项形式。和中值定理的关系是为了要找到f(x)的n阶展开式,并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小,要证明余项Rn(x)是存在的,而且是可求出来的。数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知...
泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1...
也就是余项绝对值越来越小 所以如果无穷展开，其实就是把函数展开为泰勒级数形式，这个时候直接取等，...
泰勒公式只是展开到n项,后面因为太小了可以忽略不计,所以写成余项形式。和中值定理的关系是为了要找到f(x)的n阶展开式,并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小,要证明余项Rn(x)是存在的,而且是可求出来的。 数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知...
积分余项也是泰勒公式比较自然的一个证明 2,利用积分余项证明泰勒中值定理 证明完毕了 这个证法比传统的用柯西中值证明泰勒中值 和用常数k证明泰勒中值显得更加自然直接 那么积分余项还有哪些应用呢 可以解决一些对余项有精确要求的极限问题 例如泰勒公式余项求和极限问题 这个问题我们之前用微分方程做过 今天用泰勒公式积分...
泰勒定理1：泰勒定理 2 ： 下面对这两个定理进行分析：两个定理的主要不同之处在于其余项不一样（当然，定理1要求函数 n阶可导，定理2要求(n+1) 阶）。第一个定理的余项叫佩亚诺余项，用的是小 o (读作小欧），是 x 的更高阶无穷小 ；因为公式的目的是为了利用泰勒展开去近似某个函数，所以要求余项越小...