其余项R(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理:设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n+1次可导,则对任何x,x0∈[a,b],都有(*)式成立,且(#)式成立,其中ξ介于x和x0之间.证明如下证明:作辅助函数φ(t)=f(x)-Σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!于是φ(t)在[x,x0]或[x0,...
其余项R(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理:设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n+1次可导,则对任何x,x0∈[a,b],都有(*)式成立,且(#)式成立,其中ξ介于x和x0之间.证明如下证明:作辅助函数φ(t)=f(x)-Σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!于是φ(t)在[x,x0]或[x0,...
其余项R(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理:设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n+1次可导,则对任何x,x0∈[a,b],都有(*)式成立,且(#)式成立,其中ξ介于x和x0之间.证明如下证明:作辅助函数φ(t)=f(x)-Σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!于是φ(t)在[x,x0]或[x0,...
^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.(注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.)证明:我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx),其中误差α是在limΔx→0 即limx...
(x−x0)n+1 其中ξ 是介于 x0 和x 中的一点。 事实上这一公式是成立的,因其是拉格朗日中值定理的推广,故其中的余项称为拉格朗日余项,整个公式称为带有拉格朗日余项的泰勒公式。 (根据这个误差估计项,我们可以知道误差的具体范围,从而知道函数的拟合情况。) 泰勒中值定理 设函数 f(x) 在区间 (a,b) 内...
泰勒公式泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=...
也就是余项绝对值越来越小 所以如果无穷展开，其实就是把函数展开为泰勒级数形式，这个时候直接取等，...
2.1 泰勒公式的拉格朗日余项 2.2 积分形式的余项 1. 三大中值定理 微积分中的几个中值定理在数值计算的理论分析中有很重要的作用,下面简单介绍一下。 1.1 罗尔中值定理 罗尔中值定理是最基本的中值定理,它的定义为: f(x)在[a,b]中连续,在(a,b)上可微,且f(a)=f(b),则在(a,b)必然有一点ξ,使得f...
拉格朗日余项是泰勒中值定理的一种特殊情况,它是当泰勒展开式中的ξ点固定在[a,x]之间时的余项。拉格朗日余项的表达式为: Rn(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} 其中ξ是介于a和x之间的某个数。拉格朗日余项的大小与函数f(x)的(n+1)阶导数f^(n+1)(x)及区间长度(x-a)有...
泰勒公式只是展开到n项,后面因为太小了可以忽略不计,所以写成余项形式。和中值定理的关系是为了要找到f(x)的n阶展开式,并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小,要证明余项Rn(x)是存在的,而且是可求出来的。数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知...