若你认为坡度总是指曲面升降最快的那个方向的坡度,那么,对任意方向曲面升降快慢的描述,应采用另一个概念更合适,它就是方向导数。 1.4 方向导数来救场了 什么是方向导数,其实不用想的太复杂。根据前面所讲的,导数就是坡度的极限,那么方向导数就是给定方向的坡度的极限。 ...
1、方向导数:在函数定义域内的点,对某一方向求导得到的导数。 2、梯度:是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。 3、通量:在流体运动中,单位时间内流经某单位面积的某属性量,是表示某属性量输送强度的物理量。 4、环量:一个矢量沿一条封闭曲线积分。譬如在流场中任取一条封...
从推导结果发现,散度就是函数在三个方向上偏导数的数量和,是一个标量,它反映了该点处通量的体密度。它也可以表示为哈米尔顿算子与函数的内积(两个向量的内积是一个标量),即 div f = \nabla \cdot f = \frac {\partial f} {\partial x} + \frac {\partial f} {\partial y} + \frac {\partial ...
梯度(Gradient)是一个向量,用来表示函数在某一点上最大变化率的方向和大小。通俗地说,就是求出函数在某一点处沿着最陡峭的方向上升或下降最快的速率。数学上,梯度可以用偏导数表示。场(Field)则指空间中某种物理量随位置而变化的分布情况。例如电场、磁场等都属于场。在物理学中,我们常常会遇到讨论这些场如何影响...
根据矢量的点乘规则,上式即为设与轴夹角为任意值,则与轴夹角为,则有故有代入到方向导数的定义式中,即得到由于是高次项,当时,其值为零,故得至此,通过极限的运算得到了方向导数的表达式。 在以上过程中,我们将看作一个整体的符号来分析的。其实也可以换一种思路,既然方向导数就是特定方向的坡度的极限,那么就从...
梯度物理意义:最大方向导数(速度) 散度物理意义:对流体来说,散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。 旋度物理意义:旋度是曲线,向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值,与面元的取向有关。
称为标量的梯度。因此 垂直于点处的等值面,指向值增加的一侧。 是点处最大的方向导数。 定理:设,且在单连通区域D中处处存在,则在D中是保守场;反之,若是保守场,则可以写成某个标量函数的梯度。 2 散度(Divergence) 定义:对于矢量场,其散度为 可以证明: ...
本文将深入浅出地解析梯度、散度和旋度这三个向量数学中的核心概念，让我们一起探索它们的内涵与应用。1. 算子的神秘面纱想象一下，我们遇到一个名为 向量算子（nabla 或 del） 的神秘力量，它由 方向导数的单位向量 构成，分别对应着 xyz 轴。在计算的高效路上，我们引入矩阵运算，将它重写为：向量...
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度 /div> 5楼2007-11-27 15:21 回复 fishwoodok Planck 12 梯度和一个单位...
则其面积或体积不变。如下式 梯度物理意义：最大方向导数（速度）散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。