再由柯西施瓦茨积分不等式:故4.∵∫0πxf(sinx)dx=π∫0π2f(sinx)dx,∫0π2f(cosx)dx=∫0π2f(sinx)dx∴∫0πxasinxdx∫0π2a−cosxdx=π∫0π2asinxdx∫0π2a−sinxdx再由柯西—施瓦茨积分不等式:∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≥(∫abf(x)g(x)dx)2故π∫...
(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dx(柯西-施瓦茨不等式); (∫ab[f(x)+g(x)]2dx)12≤(∫abf2(x)dx)12+(∫abg2(x)dx)12(闵可夫斯基不等式). 证法一: 因为对任意t∈(−∞,+∞),都有 [f(x)t−g(x)]2≥0, 也即 f2(x)t2−2f(x)g(x)t+g2(x)≥0. 因此...
柯西—施瓦茨不等式积分形式 柯西施瓦茨不等式一般形式:设 V \small VV 是实线性空间,在其上定义内积运算 ( ⋅ , ⋅ ) : V × V → R \small (\,\cdot\,,\cdot\,): V \times V \to R(⋅,⋅):V×V→R,即 ∀ x , y ∈ V , ∃ \small \forall \;x,y \in V,\; \exists...
柯西-施瓦茨不等式的积分表述为：若函数[公式]和[公式]在区间[公式]上黎曼可积，那么有[公式]。这个不等式是柯西不等式的推广，高中课本中我们已经接触过二维形式的柯西不等式[公式]，而其一般形式[公式]。将这个一般形式应用到题目中，通过积分定义，原题12要求证明[公式]。尽管试题并未在考试中出现...
等号成立条件为ad = bc. 不难看出它其实可由下面恒等式得到: 柯西不等式的积分形式如下陈述: 柯西不等式积分形式的证明 柯西不等式一般形式的证明 下面分享柯西不等式一般形式的11种常见证明方法。 证法1:(判别式) 证法2:(作差比较) 证法3:(均值不等式) ...
上述不等式恒成立，意味着积分形式的柯西-施瓦茨不等式得以证明。根据已知条件，可以推导出另一\[\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b [f(x)]^2dx\right) \cdot \left(\int_a^b [g(x)]^2dx\right)\]通过上述推导，我们可以得到：\[\int_a^b f(x)g(x...
柯西—施瓦茨积分不等式证明 柯西—施瓦茨积分不等式是分析学中重要的定理之一,其证明如下: 1. 引言 柯西—施瓦茨积分不等式是指对于任意两个 Lebesgue 可积函数 f 和 g, 有以下不等式成立: ∣∫ f(x)g(x)dx∣ ≤ (∫ |f(x)²|dx)¹/² * (∫ |g(x)²|dx)¹/² 这一不等式在数学分...
于是,我们有 \int_0^1xf(x)\mathrm{d}x \geq \frac{3}{8} \\ 由柯西-施瓦茨不等式 \int_0^1\,f^2(x)\mathrm{d}x\cdot\int_0^1\,x^2\mathrm{d}x \geq \left( \int_0^1\,xf(x)\mathrm{d}x \right)^2 \geq \frac{9}{64} \\ \displaystyle \int_0^1\,x^2\mathrm{d}x ...