首先,极小多项式在其他数域上仍然取到所有的特征值,并且是特征多项式的因式.自然,我们关心的是,极小多项式中是否有一次以上不可约因式.而这显然是可以的.考虑A=(01−10)容易发现这个矩阵的极小多项式是dA(λ)=λ2+1,其在R和Q中均不可约.实际上不难发现,上述矩阵的特征方程即为φA(λ)=λ2+1.自然地,我们可以发现一个命题: 若φA
极小多项式是n阶矩阵A的零化多项式中的次数最小者,且对于任意n阶矩阵,其极小多项式是唯一的。以下是对极小多项式的详细阐述:
[引理 2]设m(x)是n阶矩阵A的极小多项式,λ0是A的特征值,则(x−λ0)|m(x)[定理 1](Caley-Hamilton 定理)设A是数域K上的n阶矩阵,f(x)是A的特征多项式,则f(A)=O。 [推论 1]n阶矩阵A的极小多项式是其特征多项式的因式,其次数不超过n。
具体而言,若将特征多项式分解为不同不可约因子的乘积,极小多项式则取这些因子幂次的最小公倍式。例如当特征多项式为(x-1)^3(x+2)^2时,若极小多项式为(x-1)^2(x+2),说明矩阵的Jordan块结构中,特征值1对应最大Jordan块为二阶,特征值-2对应最大Jordan块为一阶。 计算极小多项式的方法具有多样性。通过...
最下多项式一定存在且唯一 纯量矩阵的最小多项式 如果A可对角化,则其极小多项式没有重根---如果矩阵A的极小多项式没有重根---则矩阵A可以对角化 任何矩阵的特征值都是极小多项式的根 极小多项式与特征多项式的关系: 任何一个矩阵都复相似与一个上三角矩阵--- ...
在高等代数中，关于极小多项式与 CayleyHamilton 定理，可以总结如下：极小多项式：定义：当一个阶矩阵或者线性变换被一个首一非零多项式精确地“捕获”，且它是最小的“捕捉者”，这个多项式就称为矩阵的极小多项式。存在性与唯一性：极小多项式是存在的，并且对于给定的矩阵，其极小多项式是独一无二的...
极小多项式是特征多项式中简洁而关键的元素，其几何含义主要体现在它定义了一个将矩阵映射到零的多项式的最小形式。以下是极小多项式几何含义的形象理解：矩阵的“指纹”简化：特征多项式可以视为矩阵的“指纹”，用于唯一标识矩阵。但特征多项式可能较为复杂。极小多项式则是这个“指纹”的简化版，它是能够...
2-37 极小多项式是【一口气学完】密码学的数学基础 6,《环论》,三节课学完的第17集视频,该合集共计23集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。
极小多项式是线性代数中的一个重要概念。对于任意n阶矩阵A,极小多项式是能够让矩阵A“归零”的那个次数最小的多项式。 定义: 对于矩阵A,若存在一个非零首一多项式f(x),满足f(A) = 0,则称f为A的零化多项式。 在这些零化多项式中,次数最小的那一个被定义为A的极小多项式。 性质: 极小多项式不仅是矩阵性...