综合以上的讨论,我们可以得出曲面积分ds转化为dxdy的公式如下: ∬f(x, y) dxdy = ∬f(r(u, v))|N(u, v)|dudv 其中,f(x, y)表示要进行曲面积分的函数,r(u, v)是曲面的参数化向量函数,N(u, v)是曲面的法向量,dudv表示参数u, v形成的面积元素,|N(u, v)|表示法向量的模长。 通过上述公...
曲面积分投影转换公式的基本思想是利用曲面元素在曲面上的投影面积与曲面元素在投影平面上的面积之间的关系。 设曲面元素在曲面上的投影面积为ΔA,曲面元素在投影平面上的面积为Δa。则曲面积分投影转换公式可以表示为: ∬_S f(x,y,z) dS = ∬_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |n(u,v)| du...
利用上述公式,我们可以将第二型曲面积分转换为一个在某一坐标面上的投影积分。具体步骤如下: 确定曲面的单位法向量{cosα, cosβ, cosγ}。 根据需要,选择将第二型曲面积分投影到哪一个坐标面上(如xOy面、yOz面或zOx面)。 利用相应的转换公式,将原积分转换为投影面上的积分。 在投影面上进行计算,得出结果。
对于第二型曲面积分, 根据其表达式可以牢记投影法:另外, 第二型曲面积分也可以考虑对称性, 但这时候需要小心谨慎, 因为第二型都带有方向. 以 ∫R(x,y,z)dxdy 为例: 若积分曲面 S 关于坐标面或者原点对称, 且在对称点处 R(x,y,z) 取值相同或者互为相反数, 那么根据 dxdy 的符号可以判断对称...
本题直接考查的是第二类曲面积分的计算方法,主要包括投影转换公式法和高斯公式法,本题不满足高斯公式的条件,所以我们使用投影转换公式进行计算。 投影转换公式的证明来自两类曲面积分的关系,我在下面也做了推导,在上面的计算中,我又使用了我总结过的常用求导公式,另外,也请大...
曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。曲面积分 平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。对于yoz面，dydz = ...
高斯公式的应用 24:24 易错702-必会客观题秒杀-第二类曲面积分 规律1投影为零,积分为零。对称性-奇倍偶零,其他积分奇零偶倍 33:57 易错701--典型题-第一类曲线积分计算关键点:空间曲线投影及参数方程的确定。弧长公式和空间曲面公式的区别。对面积的曲面积分转换要点 34:32 ...
cosa=1/1/√[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2],其中z=f（x,y）所以最后结果是上式 若投影到yoz平面 那么dS* - f'x/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dydz 若投影到xoz平面 那么dS*- f'y/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dxdz ...
②积分元是dS 第二型曲面积分: ①是对坐标的曲面积分,曲面有定向 ②积分元是dxdy、dydz、dzdx 两类曲面积分的联系 ①dydz=cosα dS ②dzdx=cosβ dS ③dxdy=cosγ dS {cosα,cosβ,cosγ}为曲面的单位法向量 转换投影法计算第二型曲面积分 先利用dydz=cosα dS;dzdx=cosβ dS;dxdy=cosγ dS,统一成...
Gauss公式常常用于闭曲面积分的转化,将二重积分化为三重积分,与Green公式一样,Gauss公式在使用过程时关键点在于: 1.该曲面封闭 2.该曲面围成区域中无奇点(奇点即P,Q,R偏导数不存在点) 解决方法也很容易想到,对于非封闭曲面进行补曲面构成封闭曲面;对于曲面内的奇点进行挖除处理,二维常挖圆/椭圆,三维空间则是...