康托尔集如下定义:集合[0,1]用3进制表示,0.a1a2a3...,其中a1,a2,a3...只能取0,1,2,康托尔集要求a1,a2,a3...不能取1. 答案 只需证明它抹去的测度为1,那么它剩下的测度就是0.首先,小数点后第1位是1的都被抹去了,它们的测度是:1/3剩下的是:小数点后第1位是0或2的数,它们的测度是:2/3...
从而康托尔集与用二进制表示的小数的集合等势! 而我们知道,用二进制可以唯一的表示任何 [0,1] 内的小数,所以康托尔集与闭区间 [0,1] 的点集等势,从而也与 \mathbb R 等势,这也就是为什么康托尔集是不可数的。 那么如何证明康托尔集是勒贝格零测度的呢? 我们只要来考察每一步剩下来的区间的长度即可...
1.2R是不可数集 定义映射f:2N→R为 f(A):=∑n∈A10−n 由于∑n=0∞10−n绝对收敛,于是由上上篇文章结论3,∑n∈A10−n绝对收敛,所以f是定义明确的。 假设存在不同的集合A,B∈2N使得f(A)=f(B),那么由良序原理,不妨设 n0:=min(A\B)∪(B\A) ...
因为容易验证，任何不含1的不循环三进制无穷小数都属于康托尔三分集，所以康托尔三分集不可数。（康托...
即不可数。基于不可数性的定义，若一个集合不能与自然数集建立一一对应关系，则称该集合为不可数集。因此，通过上述分析，我们可以得出结论，康托尔三分集不可数。这个结论的推导过程清晰展示了单射映射与不可数性之间的关系，以及康托尔三分集在数学领域中独特的性质和地位。
可以用反证法来证明，引用我们上课课件的证明：记康托集K是可数的，则K中的数可以排成一列x1,x2,.....
先定义一下记号：C_0=[0,1]，C_i是在C_{i-1}的每个区间段里取左右各1/3再并起来得到的集合，C=∩C_i是康托尔集（说得不太清楚，你应该懂我的意思……）要证明m(C)=m(∩C_i)=0，只要把每次在C_i里抠掉部分的测度减掉就行了，因为每次抠掉的部分都是完全新增的，和之前抠掉的没...
只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。首先，小数点后第1位是1的都被抹去了，它们的测度是：1/3 剩下的是：小数点后第1位是0或2的数，它们的测度是：2/3 其中小数点后第2位是1的又被抹去了，这次被抹去的测度是：2/3 * 1/3 再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2，...
但是,康托尔区间套方法证明实数集不可数之谬在于对于这个区间序列的构造存在一个问题。 首先,我们来看一下康托尔区间套方法的具体步骤: Step 1: 构造区间序列 选择一个闭区间[a1,b1],然后再选择[a2,b2],使得[a2,b2]是[a1,b1]的子集,以此类推。每次我们都选择一个足够小的区间,使其成为前一个区间的子集...
以康托尔集为例，它是一个具有不可数势的集合，但同时也是勒贝格零测度的。构建康托尔集的方式是在三进制计数法中，依次去掉小数点后第一位取1的区间。这一过程导致在任何深度的迭代后，集合中任意两个点之间都将存在“洞”。尽管图像难以描绘，但其表示形式与二进制小数集等价，从而康托尔集与闭...