定义3.5 称 \mathscr{Z} 空间上的连续线性泛函是 \mathscr{Z} 空间上的广义函数,记为 \mathscr{Z}’ . 类似\mathscr{K}’ 我们可以在 \mathscr{Z}’ 上定义求导、极限、线性运算. 下面我们更进一步,考虑广义函数的 \text{Fourier} 变换。设 f,g\in L^2(\mathbb{E}^n) ,内积为 (f,g)=\int f(...
1. 广义函数的基本概念 广义函数的引入首先来源于物理上一些集中分布的量(如集中质量、集中电荷等),数学上的一般概念则作为一些基本函数空间(如 速降函数空间Cc∞(Rn),速降函数空间S(Rn),C∞(Rn) )上的泛函引入,因此广义函数的性质与它作用的函数空间(称为基本空间)的性质密切相关。 磨光算子可以把 Lp(Rn) ...
广义函数是常义函数的推广,例如广义函数允许在单点取值为无穷。这种类型的函数最初出现在物理中,尤其是脉冲现象以及 Dirac 测度。后来在调和分析、偏微分方程以及 Fourier 变换得到充分研究。 假设我们定义了基本空间 D ( U ) {\displaystyle \mathcal{D}(U)} ,那么其上
广义函数是扩展了传统函数概念的一类函数,通过作用于测试函数来定义,使不连续或不可微的函数也能处理,例如狄拉克δ函数,其本身不视为普通函数,而是通过积分效应作用于光滑紧支撑的测试函数来表现。 广义函数(分布)的严格定义为:作用于某个测试函数空间(如Schwarz空间中的光滑紧支撑函数)上的连续线性泛函。它是为解决...
广义函数的定义:广义函数是定义在测试函数空间上的连续线性泛函。广义函数的特点:1. 放宽了传统函数的限制;2. 可进行任意阶导数运算;3. 局部性质通过整体积分体现;4. 能够描述奇异性较强的物理量。 1. **定义判断**:广义函数(分布)的核心定义是基于对测试函数(如紧支撑光滑函数)的线性连续映射,而非传统点对点...
广义函数的核心思想是将函数视为某个函数空间上的线性泛函。具体来说，给定一个测试函数空间（通常取为无限可微且具有紧支撑的函数空间），广义函数就是这个空间上的连续线性泛函。这种定义方式使得许多在经典意义下无法定义的“函数”能够被严格地纳入数学框架。例如，δ函数就是一个广义函数，它对任何测试函数φ的作用...
广义函数理论中,测试函数通常指定义在一个开集上的无限可微函数,且满足一定的光滑性和衰减性条件。 这些函数被用作“探针”来探测其他函数(如分布或广义函数)的性质。 作用:通过计算测试函数与待研究函数的内积(本质上是一种加权积分),我们可以提取出待研究函数在不同点或不同区域的信息。
Wolfram 语言的符号特征允许它处理广义函数或“分布”作为经典数学函数的直接扩充,以及表示无法用连续函数表达的积分和积分变换. DiracDelta—一维或多维的δ函数 HeavisideTheta—Heaviside 阶梯函数,当 时为 ;当 时为 DiracComb▪HeavisidePi▪HeavisideLambda ...
广义函数是古典函数概念的推广，也称为分布。以下是关于广义函数的详细解释：定义与背景：广义函数是为了解决某些在古典函数框架下无法描述的物理量或数学对象而引入的。历史上，物理学家P.A.M.狄拉克在陈述量子力学中某些量的关系时，引入了第一个广义函数δ，这是一个在x≠0时为0，但在x=0处具有...
广义函数与普通函数的本质区别在于它们的运算覆盖范围不同。具体区别如下：定义范围：普通函数：将一维实数空间的数x经过所规定的运算映射为一维实数空间的数y。普通函数的概念可以推广至函数空间，即将某类函数集中的每个函数看作空间的一个点，构成某一函数空间。广义函数：选择一类性能良好的函数作为检验...