在不等式理论的研究和证明中,平均值不等式占有重要的位置,平均值不等式的证明方法多样、技巧性高.下面介绍的就是其证明方法之一:先证明引理:如果n个正数x1、x2…xn的乘积
即A_{n} \geqslant G_{n}, 当且仅当 a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n} 时, 等号成立. 上述不等式称为平均值不等式, 或简称为均值不等式. 平均值不等式的表达形式简单, 容易记住, 但它的证明和应用非常灵活、 广泛, 有多种不同的方法. 为使大家理解和掌握, 这里我们选择了其中的几种 典型的证明方法...
思路三:利用积分形式的Hölder不等式 首先介绍一下积分形式的Hölder不等式:设 。若 是定义在 上的函数,定义 则有 ,这就是积分形式的Hölder不等式。 回到平均值不等式的证明思路。利用 ,可尝试证明 。 思路四:利用拉格朗日乘数法 用拉格朗日乘数法,求关于 的函数 在 这一约束条件下的最大值。 思路五:动态...
因此,当 n=k+1n = k + 1n=k+1 时,不等式也成立。 结论 由基础情况和归纳步骤,我们可以得出算术平均值-几何平均值不等式对于所有正整数 nnn 都成立。 希望这个证明过程能帮助你理解平均值不等式的原理。如果你还有其他问题或需要进一步的解释,请随时告诉我!
二元基本(/平均值)不等式 从二元到 元 任意正整数的情况 其他证明方法 这是本人练手写知乎文章的文章,符号不规范、内容不严谨的请指出 本文的内容大多出自《奥数教程》《数学奥林匹克小丛书(小蓝本)第三版·平均值不等式与柯西不等式》还有《人教A版(2019) 高一数学必修第一册》 ...
证明平均值不等式:若a1,a2,… ,an都为正数,则√[n](a_1a_2⋯a_n)≤(a_1+a_2+⋯+a_n)/n ,n其中等号当且仅当 a_1=a_2=⋯=a_
第二步，证明对所有 [公式]，不等式均成立。当 [公式] 时，将 [公式] 添加 [公式] 个数至 [公式]。令 [公式]，利用 [公式] 时的结论，可得 [公式]。调整不等式，得到 [公式]。最后，证明定理2：非负有限数集的几何平均值不小于调和平均值。对集合 {[公式] }应用定理1，得到 [公式]。
证明:不妨设\(a_{n} \geqslant a_{n-1}\geqslant \cdots \geqslant a_{1} > 0\),因为这并不影响它们算术平均与几何平均的值,若\(a_{1}=a_{n}\),则\(a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}\),此时原不等式中等号成立.设\(a_{n}> a_{1}(n \geqslant 2)\),...
这个不等式可以进行各种各样的推广和拓展,比如加权,比如推广到无穷多项,比如积分形式,比如把它们拿去跟各种各样的平均数进行比较。这些我们都先不讨论,我们现在只讨论平均值不等式的证明。 如果n=2 ,这个不等式就变成我们熟知的基本不等式: (2)a+b2≥ab (2) 的证明是很简单的,两边平方后,整理一下,就变成 (...
证明平均值不等式:假设a1,a2,⋯an为n个非负实数,它们的算术平均值记为An=a1+a2+⋯+ann,几何平均值Gn=n√a1a2⋯an.则An⩾Gn. 答案 证明见解析.相关推荐 1证明平均值不等式:假设a1,a2,⋯an为n个非负实数,它们的算术平均值记为An=a1+a2+⋯+ann,几何平均值Gn=n√a1a2⋯an.则An⩾Gn. ...