在承认选择公理的前提下,可以得到一个著名的定理,初看简直是悖论。 巴拿赫-塔斯基定理(Banach–Tarski "paradox"):给定一个三维空间的实心球体,存在一种分割球的方法,使得可以把球分成有限多的部分(对球体来说,5部分就够了),然后只通过平移和旋转,可以重组成两个实心球体,每一个都和原来球体的体积(也就是测度)...
要理解巴拿赫-塔斯基悖论的证明,可以分为四个关键步骤:首先,我们从一个具有两个生成元a和b的自由群F_2开始,它由所有不包含连续的a'或b'的有限字符串组成,并通过连接和抵销规则构成群。F_2可以被分割为四个部分:S(a)、S(a')、S(b)和S(b'),满足F_2=aS(a')∪S(a)和F_2=bS(b'...