二、初看对角化 1、矩阵分解视角 假设有一个方阵 A(2×2) ,且它满足: A 有两个线性无关的特征向量,那么我们希望将 A 分解乘另外3个矩阵的乘积: A=PDP−1 这个分解式就叫将矩阵 A 对角化(即:矩阵对角化,或简称:对角化)。 其中D 为一个对角矩阵,这大概就是命名为:矩阵对角化的原因吧。 这个式子...
1.3 对角矩阵表示的变换 ① 2×2对角矩阵的例子 ② 对角矩阵表示变换概括 不难发现当把对角矩阵看做是一个变换时 被变换的向量(或向量组)在变换后为: 对角矩阵每行中的元素×向量中相同行的元素 也就是:对角矩阵×向量,只对向量做拉伸变换 为了区分一般矩阵,这里把对角矩阵记作:D 二、矩阵对角化是什么 在上...
对角矩阵是一个方阵,它的主对角线之外的元素皆为0。 2.相似矩阵(Matrice semblables): 存在一个可逆(inversable)矩阵P,使得两个n阶矩阵A、B满足关系式:B = P^(-1)*A*P,则称A、B是相似的。 3.可对角化矩阵(Matrice diagonalisable) 矩阵A相似于某一对角矩阵,即P^(-1)*A*P 为对角矩阵,则称A为可...
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换,转化为对角矩阵的过程。常用的矩阵对角化方法有以下几种: 1.特征值分解:对于一个可对角化的矩阵,可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。首先求解矩阵的特征值,然后求解每个特征值对应的特征向量,并将这些特征向量排列成一个矩阵,将原矩阵相似变换到对角矩阵。 2.正交对角...
具体而言,若A为n阶矩阵,则存在一个n阶可逆矩阵P使得P的逆矩阵P-1和A相乘后得到一个对角矩阵D,即P-1 * A * P = D。 对角化有一些重要的性质和定理: 1.对角化定理: 如果一个n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么A可对角化。 2.特征值和特征向量: 设A是一个n阶矩阵,λ是A的一个特征值,v是对...
矩阵对角化有三种方法 1、利用特征值和特征向量将矩阵对角化 由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结。2、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化 矩阵的初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称矩阵的初等变换。下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：1 对调两...
经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后,能得到一个只有主对角线上元素不全为零,而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵),这个过程就叫做矩阵的对角化。 1矩阵对角化的条件 特别注意:不是所有矩阵A,都能找到相似矩阵为D的对角矩阵 对于,一个n×n的矩阵A(n阶方阵) ...
相似对角化 P⁻¹AP = Λ 可对角化矩阵的高次幂 A = PΛP⁻¹ 2️⃣方阵的特征值与特征向量 定义 Ax = λx(x≠0) A:特征向量 λ:特征值 如何求解? Ax = λEx变成Ax-λEx = 0 求解齐次线性方程组(A-λE)x = 0 变成齐次线性方程组,因为有x≠0,所以存在无穷多解 ...
先说一般矩阵的对角化。 对于一般的方阵,对角化的方法,在考研的要求里面,仅限于相似对角化,即将矩阵通过相似变换化成一个对角阵。由于相似矩阵之间具有相同的迹(tr)、秩(r)、特征值(λ),又因为上三角形矩阵的特征值就是对角线上的各个数字。因此,我们可以得出,通过相似对角化得到的相似对角阵一定是这个矩阵的特征...