变分原理使分析力学的微分形式和积分形式相互等价、易于转换。作用量之变分为零(意指作用量取极值),即可由以简捷地导出拉格朗日方程和哈密顿正则方程等。所谓哈密顿作用量,就是拉氏量对时间的积分;对应于实际发生的运动,其变分为零,即作用量取作极值。这就是哈密顿原理。 因此,该原理实际是作用量的变分原理,这...
1. 哈密顿原理的原理 哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。作用量S可以表示为: S = ∫(L - H)dt 其中L是拉格朗日量,H是哈密顿量。根据变分法的原理,我们可以通过对作用量的变分求解,得到真实路径。 2. 哈密顿原理的推导 我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述,...
变分原理让我们可以去取一些物理量,如轨迹长度,或函数的最大或最小值。这种方法会在一个全局视角上描述系统选择的轨迹,例如,采取A到B所花时间最小的路径。 费曼大师之前举过一个例子:沙滩上的救生员在点A,发现海中点B有人溺水,那么他/她肯定不会采取两点之间的直线距离。即使直线距离是最短的,但是一般人明显在...
首先我们先在此说明,本文主题是简明的变分和哈密顿原理,里面有许多不是非常严谨的地方(物理的uu看个乐呵就好),有一些比喻,但为了适合大多人阅读,整体上只能是比较直观和简单的。写这个文章(笔记)是因为在…
变分原理/哈密顿原理既可以推导出拉格朗日方程,也可用来推导哈密顿正则方程。为了推出后者,我们先要对原始的变分原理做出一些调整。 原始的哈密顿原理指出,系统偏离正确路径的虚位移导致的作用量的虚变分必须为零: 为了推出哈密顿方程,变量 和 都必须为独立变量。所以作用量的积分路径需从由 ...
要得到哈密顿原理,其实途径和拉格朗日非常相似,但是哈密顿在处理变分的时候从一开始就一针见血的采用等时变分,这是他比拉格朗日做得好的地方。稍后大家就会看到哈密顿原理的表述,里面涉及的概念要清晰严谨得多! 至于推导出结果就非常简单了,因为可以把上一节中的主要推导过程直接复制过来。而且咱们在上一节里已经被...
要得到哈密顿原理,其实途径和拉格朗日非常相似,但是哈密顿在处理变分的时候从一开始就一针见血的采用等时变分,这是他比拉格朗日做得好的地方。稍后大家就会看到哈密顿原理的表述,里面涉及的概念要清晰严谨得多! 至于推导出结果就非常简单了,因为可以把上一节中的主要推导过程直接复制过来。而且咱们在上一节里已经被...
哈密顿原理是变分法在物理学中的一个重要应用。它是经典力学中的一条基本原理,用于描述力学系统的运动方程。 哈密顿原理的核心思想是:在力学系统的运动过程中,系统的实际路径是使作用量(Action)最小的路径。作用量是一个泛函,它的具体形式与系统的拉格朗日函数(Lagrangian)相关。通过对作用量求取极小值,我们可以得...
哈密顿正则方程力学的变分原理 完整的、保守的力学体系在相同时间内,由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中,真实运动的主函数具有稳定值,即对于真实运动来讲,主函数的变分等于零。 哈密顿原理的文字表述如下: 在t1时刻到t2时刻内,如果qj(t1)和qj(t2)对于约束所允许的各种可能的运动都相同,则真实运动...