数量积(又称点积)和向量积(又称叉积)是向量运算中两种基本的乘积方式,它们在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。 以下是关于这两种乘积的详细解释: 数量积(点积) 【定义】对于两个向量a和b,它们的数量积定义为a·b = |a| × |b| × co...
1.1 叉乘(cross product)的定义 叉乘(cross product),也叫外积,向量积(Vector Product),它们的结果式一个向量,向量积是一种"向量--->向量"的运算,但行列式是"向量--->标量"的运算;后面统一叫做叉乘 a和b的向量积记作a×b,a×b作为一个向量: 方向: 它的方向是垂直于向量a和b构成的平面,方向根据右手法则...
与向量点积相反,向量叉积度量两向量的差异性,数值 表示两向量的差异性。 1)当两向量同向时,数值 为零,两向量差异为零; 2)当两向量反向时,数值 为零,两向量差异为零; 3)当两向量垂直式,数值 最大,两向量差异最大; 如两向量的构成平行四边形的面积等于 ,当两向量正交时,构成平行四边形面积最大。 以上讨...
向量之间的乘法是后面会讲的点积和叉积,但向量之间没有除法。向量和常量相乘或相除,大家可以理解为两个向量之间的比例关系,我们用最简单的共线向量(即平行向量)来举例: 如果只看两者的模,我们知道 |v(8,0)| = 4|v(2,0)|,或者 |v(8,0)| / 4 = |v(2,0)|;上面表达了两个向量之间模的比例,但我...
其中,向量的点积和叉积是两个常见的运算,本文将详细介绍这两种运算的定义、性质和应用。 一、向量的点积 向量的点积(Dot Product),也称为内积或数量积,是将两个向量进行运算得到一个标量的过程。对于两个n维向量A和B,它们的点积定义为: A · B = |A| |B| cosθ 其中,|A|和|B|分别表示向量A和B的模...
如果点积为正,说明两个向量在一定程度上指向相同的方向;要是为负呢,就表示它们有点儿“对着干”;点积为零,那这两个向量就是互相垂直的。 再讲讲叉积。对于向量A = (a₁, a₂, a₃)和B = (b₁, b₂,b₃),它们的叉积A × B是一个新的向量,设为C = (c₁, c₂, c₃),计算...
本系列内容总结于 【官方双语/合集】线性代数的本质,推荐观看原视频。点积标准介绍点积是指两个维度相同的向量点乘,结果是相应坐标配对的乘积之和,如 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 …
这些性质使得点积在数学分析和线性代数中扮演着重要的角色。 二、叉积：构建三维空间的向量积 2.1 几何视角 叉积，又称为外积或向量积，用于三维空间中，其结果是一个向量。设向量 u 和向量 v 的夹角为 θ ，则它们的叉积定义为： u × v = |u| |v| sin(θ) n 其中， sin(θ) 是...
有了这些性质,便可以开始推导叉积的计算公式了, 和点积那里一样,设三维空间中与坐标轴同向的三个单位向量依次为 \vec i , \vec j , \vec k ,于是便有 \vec i\times\vec i=\vec j\times\vec j=\vec k\times\vec k=0 \vec i\times\vec j=\vec k , \vec j\times\vec k=\vec i , \...
向量的点积和叉积是向量运算中的两个重要操作。点积可以得到两个向量的数量关系,如夹角和是否垂直;叉积则可以得到两个向量所在平面的法向量以及平行四边形的面积。它们在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。 五、参考文献 [1] Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning. ...