分岔理论(Bifurcation Theory)由法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)于1885年首次提出。其研究对象为任意的ODE: x˙=f(x,μ),x∈RN,μ∈RM ,关注系统参数 μ 如何定性影响解的性质和结构(研究系统参数的量变到解的质变的过程)Ex.0: 我们关注一个最基本的ODE: x˙=μx,x∈R,μ∈R ,令初值 x(0)...
分岔理论(Bifurcation Theory)由法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)于1885年首次提出。其研究对象为任意的ODE: x˙=f(x,μ),x∈RN,μ∈RM ,关注系统参数 μ 如何定性影响解的性质和结构(研究系统参数的量变到解的质变的过程) *每个例子会提供对应的Python代码,以供参考。 Ex.0: 我们关注一个最基本的...
庞加莱-安德罗诺夫-霍普夫分岔理论，通称为“霍普夫分岔”理论，是首先由庞加莱在1892年对平面系统进行研究的[5]，然后由亚历山大·安德罗诺夫（Aleksandr Andronov，1901-1952）及其合作者在1930年进行了完善和细化[6]，最后由霍普夫在1942年扩展到一般高维系统。粗略地说，霍普夫分岔是非线性常微分方程自治系统的一...
庞加莱-安德罗诺夫-霍普夫分岔理论,通称为“霍普夫分岔”理论,是首先由庞加莱在1892年对平面系统进行研究的[5],然后由亚历山大·安德罗诺夫(Aleksandr Andronov,1901-1952)及其合作者在1930年进行了完善和细化[6],最后由霍普夫在1942年扩展到一般高维系统。粗略地说,霍普夫...
分岔理论是研究系统在控制参数变化时如何产生剧烈变化的理论。简而言之，分岔是指一个系统的稳定状态发生突变或转换的过程。随着系统控制参数的变化，系统的行为可能会从稳定的状态转变为不稳定，或者从一个稳定的轨道跳跃到另一个轨道。这些突变点就是分岔点。分岔理论可以用来描述很多物理和生物系统的行为，例如流体动力...
事实上,分岔理论比混沌理论的历史更长。分岔理论的一个重要人物是艾伯哈德·霍普夫(Eberhard Friedrich Ferdinand Hopf,1902年4月4日-1983年7月24日)。今天,世界上“分岔与混沌”理论及其应用研究领域的科研人员,大概没有谁不曾在论文中分析或提及过“霍普夫分岔”(Hopf bifurcation)。
分岔理论
Hopf分岔理论是研究非线性系统在参数变化时从平衡态向周期振荡态转变的重要工具,其核心在于系统稳定性的突变及周期运动的产生。该理论基于数学
庞加莱-安德罗诺夫-霍普夫分岔理论,通称为“霍普夫分岔”理论,是首先由庞加莱在1892年对平面系统进行研究的[5],然后由亚历山大·安德罗诺夫(Aleksandr Andronov,1901-1952)及其合作者在1930年进行了完善和细化[6],最后由霍普夫在1942年扩展到一般高维系统。粗略地说,霍普夫分岔是非线性常微分方程自治系统的一种动力...
混沌理论和分岔理论是复杂系统中的重要概念,它们揭示了非线性动力学系统中极其复杂且难以预测的行为。混沌理论指的是即使在初始条件微小变化下,系统的演变也可能变得极为敏感和不可预测,而分岔理论则研究了系统参数变化如何导致其行为的突变和质的转变。 在我们的日常生活中,很多现象看似简单却又极为复杂。天气预报、股...