它们的定义都是在定义域上,凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值,凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。简单来说,凸函数就是“弯弯的”向上的函数,凹函数则是“弯弯的”向下的函数。
比如我们考虑函数 f(x,y)=xy ,写出其海森矩阵: D^2f(x)= \begin{pmatrix} 0 &1\\ 1 &0 \end{pmatrix} 注意到其特征值为 -1 ,所以该矩阵并没有正定性。所以其既不是凸函数又不是凹函数。 3. 拟凸(凹)函数(quasiconvex (quasiconcave) function) 在讲完凹函数和凸函数之后,我们便着手于拟凹...
凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C(区间)上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈(0,1),总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。 凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(...
容易理解,若函数f(x)为凸函数,那么−f(x)为凹函数。所以,讨论清楚了凸函数,等价于讨论清楚了凹函数。 现在我们来讨论凸函数,现设一函数f(x)。在该函数定义域的凸区内任取两点、x1、x2(x1<x2)。设一点且x=q1x1+q2x2,(q1,q2>0且q1+q2=1),那么易得,该点必包含于、x1、x2之间。 如图所示: 图...
1凸函数、凸集定义2.凸函数性质1)定义2)线性关系 3)严格凸函数4)凹函数与凸函数性质相反 5)判定 二阶导>0/正定,凸函数;<0/负半定,凹函数。 6)凸优化中,局部极小点就是全局极小点。 凸函数2(斯坦福凸优化笔记6) logf是凹函数。 我们也可以用类似定义凸函数的方法定义对数凹函数。 如果函数定义域是凸...
凸函数和凹函数 直观理解 如果在函数图像上任取两点,函数图像在这两点之间的部分都在两点线段的上分,那么就成为凸函数,否则称为凹函数。 说明:凸函数,可以称为上凸或者下凹。凹函数,可以称为上凹或者下凸 image.png 函数定义 如果f(x)在区间D上连续,在区间内任取两点a、b,下面的关系恒成立,那么就称为函数...
一、函数的凹凸性定义函数的凹凸性是指函数图像的弯曲方向。具体来说，如果一个函数在某个区间内，其图像的切线在切点处的斜率大于0，则称该函数在这个区间内是凹函数；如果其图像的切线在切点处的斜率小于0，则称该函数在这个区间内是凸函数。二、函数的凹凸性判别法对于一个函数f(x)，我们可以利用其二阶导数...
《最优化导论》-22凸函数 1凸函数、凸集定义2.凸函数性质1)定义2)线性关系 3)严格凸函数4)凹函数与凸函数性质相反 5)判定 二阶导>0/正定,凸函数;<0/负半定,凹函数。 6)凸优化中,局部极小点就是全局极小点。 math: 凸函数、拟凸函数和保凸运算 ...
在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" 反过来,就是凸函数; 由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0 凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高 分析总结。 在...