背景:该定理由数学家威廉·卢云·哈密顿(W.R.Hamilton)和阿瑟·凯莱(A.Cayley)共同贡献。哈密顿在他的著作《四元数讲义》中涉及了线性变换满足其特征多项式的问题,而凯莱则在1858年的一篇文章中对n=3的情形验证了此定理。该定理的第一个一般性的证明由弗罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius)于1878年给出。 二、定理内容...
凯莱-哈密顿定理(Cayley-Hamilton Theorem)是线性代数中的一个重要定理,它表明任何方阵都满足其自身的特征多项式。然而,你提到的关于可对角化矩阵在所有方阵中稠密的说法,实际上是关于矩阵的拓扑性质,而不是凯莱-哈密顿定理的直接结果。 凯莱-哈密顿定理 凯莱-哈密顿定理表明,对于任意n \times n的矩阵A,其特征多项式...
哈密顿-凯莱定理(Cayley-Hamilton theorem)是一个关于矩阵的重要性质: 设 A 为一个数域 K 上的 n 阶方阵,用 I_{n} 来表示 n 阶单位阵(简记为 I ),记 A 的特征多项式为 f(\lambda)=\left| \lambda I-A\righ…
解由Cayley-Hamilton 定理知, 若A的特征多项式为 f(λ)=λ^n+a_iλ^(n-1)+⋯+a_n, 则 f(A)=A^n+a_1A^(n-1)+⋯+a_nE=0. 得 A(A^(n-1)+a_1A^(n-2)+⋯+a_n-1=-a_nE_n 故 A^(-1)=-1/a,A^(n-1)-(a_1)/(a_n)A^(n-2)⋅...-(a_n-1)/(a_n)E,b...
凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理是一个关于矩阵的重要性质，它的核心结论在于，对于给定的任意方阵[公式] A，我们可以构造其特征多项式[公式]。这个特征多项式本质上是一个关于矩阵变量的多项式，当我们把矩阵A替换为该多项式中的自变量时，会得到一个恒等关系[公式]。换句话说，无论矩阵A的具体取值如何...
例4.15 证明哈密顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理:如果数域 K上n维线性空间V内线性变换A的特征多项式为f(),则f(A)=0.
在控制理论中，凯莱-哈密顿定理也发挥着关键作用。以线性系统[公式]为例，其中输入u影响系统状态x。判断系统的可控性，就是寻找合适的u，使得x可以达到任意目标值。通过设定矩阵[公式]，我们寻找输入u使得[公式]成立。当[公式]充分大时，如果满足[公式]，则系统被认为是可控的。借助凯莱-哈密顿定理，...
学习线性代数的时候,我们接触过一条非常优雅的定理:凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理,下面我们看一下该定理的含义和用途,特别是在控制原理方面的应用。 凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理说的是:对方阵 A 的…
哈密顿-凯莱定理(Cayley-Hamilton theorem)是一个关于矩阵的重要性质: 设 A 为一个数域 K 上的 n 阶方阵,用 I_{n} 来表示 n 阶单位阵(简记为 I ),记 A 的特征多项式为 f(\lambda)=\… 不爱洗头的洗头人 Trivia: Hamilton-Cayley 定理 包遵信 哈密尔顿–凯莱定理的抽象代数证明(三) 接 上篇,我们继续...