例题:求解伯努利方程$y''+4y'+3y=0$的通解。 解:伯努利方程的特征方程为$r^2+4r+3=0$,根为$r_1=-1, r_2=-3$。 则通解为:$y=c_1e^{-x}+c_2e^{-3x}$。 注意:在求解伯努利方程时,需要判断特征方程的根的不同情况,如果根相等,则通解为$y=c_1xe^{-x}+c_2e^{-x}$;如果根不相等,...
伯努利方程一般形式:形如 的方程称为伯努利方程,其中n为常数,且n不等于0,或者1. (思考:n=0是什么方程?n=1是什么方程?) 伯努利方程是一种非线性微分方程,但通过适当的变量代换可以使其线性化。 具体方法为:在上述伯努利方程两端同除以y^{n} 得 左边第一项稍加变形,可以写成 于是,换元,令 则 代入原方程,...
非齐次线性微分方程的特解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次的一个特解其中伯努利方程(换元法)归结为一阶线性微分方程。 第三类:全微分方程及基于曲线积分与路径无关的积分法,或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的方法(这部分内容...
该方程不是关于未知函数的线性方程.如果将视为未知函数,则原方程可化为一阶线性方程 故由通解公式得 所以原方程的通解为 (4) 该方程为伯努利方程,令,则方程变换为 该方程为一阶线性微分方程,故由通解计算公式,得 回代,得原方程通解为 ...
二、求解一阶微分方程的基本思路 1.改写结构,对比标准可求解类型 适当变换微分方程描述形式,比对标准类型方程结构:可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程(方法曲线积分部分讨论)。 2.换元转换,构建标准类型 对于不符合标准类型的方程,考虑对微分方程进行适当变换后,使用换元法将一...
标准类型方程结构:可分离变量的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,伯努利方程,全微分方程 ( 方法曲线积分部分讨论 ) . 2 .换元转换,构建标准类型 对于不符合标准类型的方程,考虑对微分方程进行适当变换后,使用换元法将一阶微分方程转换...