仿射集和凸集 仿射集亦称仿射流形、线性流形、仿射簇,是实线性空间中的一类子集。 凸集,数学术语,若对于所有x,y\inS和所有t\in[0,1],有(1-t)x+ty\inS,则称S为凸集。 仿射集和凸集的主要区别,可以这样去想,仿射集是可以无限延伸的,而凸集一般都是有限定范围的。就类似于直线和线段的理解。
说明:C的仿射包可看做包含C的最小的仿射集 1.5 线性方程组的解 推论:线性方程组的解一定是一个仿射集 证明: 推论:对于线性方程组AX=b的解集C={x|Ax=b},V={x|Ax=0}为与C相关的子空间,也叫A的化零空间。 2. 凸集、凸组合和凸包 2.1 凸集(convex set) ...
理解了各种组合的定义以及几何意义后,什么是仿射集、凸集、凸锥集就已经顺理成章了。 2.1 仿射集 2.1.1 仿射集的基本定义 书中对仿射集的定义 翻译成人话就是“若一个集合C满足:对于它里面的任意两个点,经过任意仿射组合后得到的点仍在集合C中(即过这两点的直线上的点均在集合C中),则集合C是仿射集。” ...
任意线是仿射(affine),若过原点,则为凸锥(convex cone) 线段是凸(convex),但不是仿射 形式如 的射线是凸,但不是仿射 任意子空间是仿射和凸锥 超平面是仿射集(affine set) 半平面是凸集(convex set) 球体和椭圆体是凸集 Norm ball 和norm cone是凸锥 多面体(polyhedra)是凸集 参考文献:convex optimization[St...
反过来,任意仿射集都可以写成一个线性方程组的解集也是正确的。 4 凸集(Convex Set): 4.1 定义 (1)凸(convex)的定义:对于集合 ,如果通过集合C中任意两个不同点之间的线段(注意啦!是线段了)仍在集合C中,则称集合C为凸(convex)。 (2)凸组合:
一、基本示例 仿射集、凸集、锥、凸锥四者的包含关系，以及典型的示例所属的集合类型，如下图所示：四...
一个点一定是仿射集和凸集，但不一定是锥，只有原点可以单独构成一个凸锥。4.2 空集 空集既是仿射集...
仿射集是凸集，凸集不一定是仿射集
在凸优化的入门阶段，理解仿射集、凸集、凸锥集以及它们的包（仿射包、凸包和锥包）是关键。这些概念看似复杂，但实际上它们之间存在着清晰的联系和区别。让我们通过实例来直观说明。首先，线性组合、仿射组合、凸组合和锥组合是不同的运算方式。线性组合允许任何实数作为系数，仿射组合则额外要求非负系数且...
凸集是一个更具体的集合，其中任意两点间连线上的所有点都属于集合。凸组合定义了空间中点的加权组合，且权重非负，组合结果仍属于凸集。凸包是包含集合内所有点的最小凸集。凸集与凸包在优化理论中具有重要应用。锥是一个在某方向上无限延伸的集合，其定义与仿射集类似，但方向性是其关键特征。凸锥是...