这是一份平面代数曲线的笔记,可以视为代数几何的预备课程,采用的资料为Andreas Gathmann的Plane Algebraic Curves讲义。图片如无特殊说明,也均来自这份讲义的配图。 导论 这份笔记重点关注双变量的单多项式曲线,而在一般的代数几何中可能考虑多变量的多项式方程组对应的几何对象。曲线会定义在一些域上,这里给出一
代数簇、坐标环、函数域、维数、局部环 曲线、光滑 映射 在前一篇文章中使用Weierstrass方程定义了椭圆曲线,但这种定义方式比较直接,没有显示具有这种形式的方程与过去学习过的二次曲线有怎样的差异,究竟满足怎样性质的曲线能够被 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 描述?在本文中将先给出椭圆曲线的一个正式定义,然...
代数曲线是代数几何中的一个重要且基本概念,它指的是一维代数簇,通常通过由变量构成的多项式方程来定义。以下是对代数曲线的详细阐述:
代数曲线本质是用多项式方程描述的点的集合,例如二次曲线中的圆、椭圆、抛物线都属于这个范畴。标准化相当于给这些曲线建立“身份证”,不论原方程多复杂,最终都能呈现为类似x²/a²+ y²/b² =1这样的典型结构。这种转化需要分步操作:先分析方程各项的次数与系数,判断曲线的类别;再通过坐标变换消除交叉项或...
定义: 一个仿射代数簇是上的形如 的子集 , 这里. 特别地 , 如果,称为仿射代数超曲面 , 这时称为的次数 ,中的仿射代数超曲面称为平面仿射代数曲线 . 定义: 一个射影代数簇是中形如 的子集 , 这里. 因为, 此定义是合理的 . 显然...
引理1:如果曲线的亏格, 那么典则线性系无基点 . 证明:根据《代数几何中的曲线专题(第三篇):曲线在射影空间的嵌入(上)》中的命题1可知 , 只需证明对每一个点有. 一方面我们有, 另一方面由于不是有理曲线 , 即对每个点有, 故...
抽象的代数曲线定义为一维的代数簇。紧致光滑的复代数曲线对应的复解析对象是紧黎曼面。 它是紧的2维定向实流形，也就是复的一维流形。代数曲线是代数几何中很基本的一类研究对象。
上的椭圆曲线 ,存在数域 使得 是 上的半稳定椭圆曲线(即在 的所有位上 的约化都是好的或乘法的)。 “局部-整体”原理在亏格大于0的代数曲线上不再成立。作为替代,可以将各个局部的信息集合成Hasse-Weil L函数 。 等价于 ,故坏约化仅有有限个,上述Euler积收敛与否取决于 ...
对于复射影直线这样的简单曲线,其基本群是平凡的。但对于亏格大于零的曲线,情况变得有趣。椭圆曲线对应的黎曼面是环面,其基本群同构于自由交换群Z×Z。这个结果提示代数曲线的基本群与经典拓扑中的结论存在对应关系,特别是在复数域上考虑时,代数曲线的拓扑实现就是紧致黎曼面。 计算基本群通常有两种思路。第一种通过...