答是的。设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0 (1)的两个线性无关的解,则它的通解是y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) 要证明此通解包含了方程的一切解,只需证明,如果y3是(1)的解,则y3必能用y1(x)与y2(x)的某个线性组合表示。事实上,因为y1与y2都是方程(1)的解,故有y...
一、特征方程有两个不等实根 若二阶线性齐次微分方程的特征方程为 ( r^2 + pr + q = 0 ),且其判别式满足 ( \Delta = p^2 - 4q > 0 ),则方程有两个不相等的实数根 ( r_1 ) 和 ( r_2 )。此时通解为两个指数函数的线性组合: [ y = C_1 e^{r...
二阶齐次线性微分方程的通解形式由其对应的特征方程根的类型决定,具体分为三种情况:不同实根、重根和共轭复根。每种情况对应不同的通解表达式,均
@数学解题二阶齐次线性微分方程的通解 数学解题 二阶齐次线性微分方程的一般形式为 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0y′′+py′+qy=0,其中 ppp 和qqq 是常数或者与 xxx 有关的函数。 求解这类方程,我们通常会先考虑其特征方程,该方程是一个二次方程,形式为 λ2+pλ+q=0\lambda^2 + p\...
二阶齐次微分方程的通解是:y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为:y"+py’+qy=0 ,其中p,q为常数。以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程:r²+pr+q=0,这方程称为微分方程的特征方程,按特征根的情况,可直接写出方程的通解。 特征方程的几种...
二阶齐次线性微分方程的通解形式取决于其特征方程的根类型,具体分为三种情况:当根为两个不相等实根时,通解由两个指数函数组成;当根为重根时,通解包含多项式与指数函数的乘积;当根为共轭复根时,通解表现为指数函数与三角函数的组合。以下分点详细说明。 1. 不相等实根的情况 ...
二阶线性齐次微分方程的通解,是根据其特征方程的解来确定的。这类方程的一般形式是:[ ay' + by' + cy = 0 ],其中( a, b, c )是常数,且( a eq 0 )。 首先,我们来看二阶线性齐次微分方程的特征方程,它是:[ ar^2 + br + c = 0 ]。这个二次方程的解,也就是特征方程的根,将决定微分方程...
这是一个常系数二阶齐次线性微分方程。 令y=e^(rx),则y′=re^(rx); y″=(r^2)e^(rx) 代入原式得: [e^(rx)](r^2+2)=0 ∵e^(rx)≠0 ∴必有r^2+2=0(此即所谓特征方程) 故r1=(√2)i; r2=-(√2)i 于是原方程的通解为y=C1e^[(i√2)x]+C2e^[-(i√2)x] 其中C1,C2是由初...
方程通解为:y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1) 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称...