二、子模,循环模,有限生成模,单模 定义2(子模) 定义3(循环模) 定义4(有限生成模) 例子 定义5(单模) 例子 命题2 模的概念是向量空间的自然推广。向量空间是一个在域上的模。模的推广是简单地用环代替域。特别的,如果F是一个域,V是一个在F上的向量空间,R是V的线性变换的环,那么V是一个在R上的模...
二、模的直和,自由模 定义3(模的直和) 设M 是一个 R -模, \{M_{i}\}_{i \in I} 是M 的一族子模. 对于\forall m\in M ,存在 \{i_{1},\cdots ,i_{t}\}\subseteq I 和m_{i_{1}}\in M_{i_{1}} ,\cdots ,m_{i_{t}}\in M_{i_{t}}.使得 m=m_{i_{1}}+\c...
主理想整环上的自由模的子模必为自由模, 而且子模的秩不超过模本身的秩. 数学归纳法: 时,由子模的性质我们知道为的子模当且仅当时的理想, 如果,那么显然, 如果,那么就可以由生成,显然就是的一组基. 归纳假设时结论成立,现在考虑 令,它是秩为的自由模, 如果,那么由归纳假设直接证得,如果在中,那么那么存...
[主理想环上有限生成模的结构定理] 设为主理想整环上的有限生成模, 则是若干循环子模 的直和: 其中. 因为任何一个有限生成模都可以和的同构,因此我们只需考虑即可. 由上边的定理,我们可以直接取两组基,使得两组基之间的过渡矩阵为“对角阵”.取一组基为,对角阵为,那么我们就有,就是的一组基,所以: 注意...
主理想整环上有限生成模的自同态环是一种结构定理,它是基于理想环理论的一种拓展。 一个群可以分解成一组对称集,每一组对称集都有一个共同的生成模,它满足环的自同态关系。 定义:设G为主理想整环上的一群,存在是施洗十字R,R={r1,r2,…,rn},其中每个ri都是一个不同的生成模。若G能被分解成n个独立的子...
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主理想环上的有限生成模 在高等代数中,我们由任何一个子空间的维数都不会超过原空间的维数.由最初的引言,我们可以看到模是线性空间的自然推广,那么自由模的子模的秩会不会也小于原来模的秩呢?(因为自由模中基的概念和子空间中基的概念类似所以我们自然可以拿自由模的秩和子空间的维数进行类比.) ...
1,诺特环就是它的任意一理想都是有限生成理想的那种环。它是诺特模的一种特殊情况。诺特模就是那种它的任意一子模都是有限生成模的那种模, 2,容易证明任意一个有限生成模的商模都是有限生成模。但是一个有限生成模的子模不一定是有限生成的。 3,任意一有限生成模都和其系数环上的一自由模的商模同构。