解:这是一个一阶线性常微分方程,可以使用常数变易法来求解。首先,求出齐次方程的通解: y' + 2xy = 0 齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2),其中 C 为常数。 然后,我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2),将其代入原方程得到: u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x...
线性方程 Linear Equations 伯努利方程 Bernoulli Equations 下面分别介绍这几类常见微分方程的解法[1]。 【注意】 为了方便理解,每种解法后面都配有计算实例,在无法理解为什么这样解的时候可以参考一下对应的计算实例,希望有所帮助。 这五类一阶常系数微分方程解法依据求解的难易程度依次递进,最好按照本文顺序阅读。
最后把(u)代入(y = ue^{-int P(x)dx}),得到一阶线性非齐次微分方程的通解为(y = e^{-int P(x)dx}[int Q(x)e^{int P(x)dx}dx + C])。 例如,对于方程(dy/dx + 2xy = x),这里(P(x)=2x),(Q(x)=x)。 先求齐次方程(dy/dx+2xy = 0)的通解,由(dy/y=- 2xdx),积分得(ln|y...
一阶线性常微分方程的求解公式 一阶线性微分方程可以写成y’+p(x)y=g(x)。形如y’+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y’的次数为0或1。 对于一阶齐次线性微分方程: 其吉龙德形式为: ...
一阶线性常微分方程是一种常见的微分方程,它在物理学、工程学等领域有广泛的应用。下面,我将详细讲解一阶线性常微分方程的求解方法。 一阶线性常微分方程的一般形式为:dy/dx + P(x)y = Q(x),其中P(x)和Q(x)是已知的连续函数。 1. 分离变量法 当P(x)和Q(x)都是连续函数时,我们可以使用分离变量法...
解\mu 关于x 的一阶线性方程可得方程8的求解公式. 常用积分因子 方程x\mathrm dy-y\mathrm dx=0 的常见积分因子为 \frac1{xy},\frac1{x^2+y^2},\frac1{x^2-y^2} ,因为 x\mathrm dy-y\mathrm dx=xy\mathrm d\left(\log\vert\frac yx\vert\right)=(x^2+y^2)\mathrm d\left(\arctan(...
求解一阶线性常微分方程的常用方法是“积分因子法”。其步骤如下: 1. 求积分因子: 积分因子 μ(x) 的计算公式为 μ(x) = exp(∫p(x)dx)。 2. 乘积分因子: 将积分因子 μ(x) 乘以原方程两边,得到 μ(x)dy/dx + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x)。 3. 转化为全微分: 左边可以转...
解 把微分方程组改写为矩阵形式 (dx)/(dt)=Ax 其中 0 1 0 x= = A = 0 0 1 . x3 6-11-6 令 x=Py,这里 1 1 1 yī P =-1-2-3 y= 1 4 9 (y3 于是,由例1.2得 -1 0 0 = P- = PAx = P-APy = 0-2 0y. 0 0-3 从而 (dy_1)/(dt)=-y_1 . (dy_2)/(dt)=-2y_...
解析 解: (1)原方程对应的齐次方程为 特征方程为 原方程的通解为 求特解 设 代入原方程得: 原方程的解为 根据初始条件 得: 故原方程的解为 (2)原方程对应的齐次方程为 特征方程为 原方程的通解为 求特解 设代入原方程得 解得 原方程的解为 根据初始条件:,, 故原方程的解为:...