Cauchy判别法是另一种常用的判别方法。它的基本思想是通过比较函数序列中的两个函数之间的差值来判断函数序列的一致收敛性。 具体来说,如果对于任意给定的正数ε,都存在正整数N,使得当m,n>N时,对于所有的x∈D,都有|fn(x)-fm(x)|<ε成立,那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛。
一致收敛性是函数列或函数项级数的一种性质。一致收敛函数的判别方法有很多种,最常见的有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。一致收敛函数具有连续性、可积性、可微性的特点。定义 函数项级数的一致收敛性:设 是函数项级数 的部分和函数列,若 在数集D上一致收敛于函数 ,则称函数项级数 在D...
Cauchy准则是函数列一致收敛的重要判别法之一、设函数列{f_n(x)}在集合E上定义,对于任意ε>0,存在N,使得当n,m>N时,对于任意的x∈E,有,f_n(x)-f_m(x),<ε。当满足这个条件时,函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。 2. Weierstrass判别法 Weierstrass判别法是函数列一致收敛的常用方法之一、设函数列...
Weierstrass判别法指出,如果函数项级数的每一项u_n(x)满足|u_n(x)|≤a_n(对于所有x∈D),并且数列∑a_n收敛,那么函数项级数∑u_n(x)在D上一致收敛。 这个判别法的优点在于,它不需要知道函数项级数的和的具体形式,只需要知道每一项的绝对值满足的条件,以及这个条件与x的位置无关,就可以判断函数项级数是否...
本节阐述一致收敛级数的判别与性质。 10.2.1 正文 10.2.1.1 一致收敛的判别 函数项级数一致收敛的柯西收敛定理 证明: 类似的 Weierstrass(魏尔斯特拉斯)判别法 上面的证明用比较判别法,再用级数绝对收敛则级数必然收敛来证明。 e.g1 以\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty}a_n\cos (nx)为例,显然有|a_n \...
1. 一致收敛的概念 在介绍一致收敛的比较判别法之前,我们先来了解一下一致收敛这个概念。对于一个函数序列{f_n(x)},如果存在一个函数f(x),使得对于任何给定的正数ε,都存在一个正整数N,当n>N时,有|f_n(x)-f(x)|<ε成立,那么我们称这个函数序列一致收敛于函数f(x)。这种收敛方式相比于点态收敛和平均...
7.1第7讲 一致收敛的概念与判别法 所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数,也就是说是无穷多个函数求和的问题,研究函数项级数主要回答下列几个问题:1. 收敛区域,即对于函数项级数:()1n n a x ∞ =∑,x 在什么范围内级数是收敛的? 这一问题是平凡的,因为对于给定x ,由...
Dirichlet判别法→(傅里叶级数)Dirichlet收敛定理 Abel判别法→(幂级数)Abel第二定理 一、Cauchy判别法【适用范围广、不好用】 1.注意不同的“一致”里,要求“一致”的是什么东西。 2.函数的一致连续跟函数的Cauchy收敛只是形式相似,没有实质关系; 但函数列的一致收敛跟函数列的Cauchy收敛是【等价命题】。(因为函...
一致收敛性是函数项级数的一个重要性质,它表明级数的和在收敛域内的任意点上都收敛到同一个函数。因此,判断函数项级数的一致收敛性对于理解级数的性质和行为至关重要。本文将介绍几种常见的判别方法。二、判别方法1、柯西判别法柯西判别法是最常用的判别函数项级数一致收敛性的方法之一。它基于对级数中每个函数的...