それなら,@aligymさんが書いた言葉で、大丈夫です。If your question is about Japanese-business manner,I think it is better to say it than not to say it.But it’s 個人的なおねがい ですね If it’s not 個人的なお願い、You can say it and you can let them know, "B took care...
「送り出し機関」と言う単語が相手側が知っていれば大丈夫ですが、自分は知らなかったので調べました。もし、相手側が知らない可能性があるならば英語名などの注釈をつけると良いと思います。 あと、段落ごとに改行をするとメールとしては見やすいと思います。