下面给出陈类更加直观的表达式,它与上面的公理化定义是等价的,但是其实很多细节和严谨证明隐藏在了背后的概念中。考虑一个结构群 G 的李代数 \mathfrak g 中任意一个元素 \mathfrak X\in\mathfrak g , 我们前面说过,结构群可以看做是矢量丛的纤维上的线性映射构成,因此 \mathfrak X 是一个线性映射。于是,...
这个第一陈类作为拓扑分类工具，可以用于从复线丛的角度对X进行分类，是一个完全不变量。然而，对于1维以上的复向量丛，陈类的性质不再保持不变。总结，陈类在研究拓扑空间X上的复向量丛V时扮演重要角色。它们是上同调H的元素，用cn(V)表示。所有陈类中，c0(V)总是1。当V是复d维丛时，所有当n...
同时,Euler示性类满足与Stiefel-Whitney示性类几乎有着完全相同的乘机性质: Proposition 1.12 Whitney和下: e(\xi\oplus\xi')=e(\xi)\cup e(\xi') Cartesian积下: e(\xi\times\xi')=e(\xi)\times e(\xi') 3. \mathbb{CP}^n 的上同调环 这在我们定义复向量丛的陈类时会起到极其重要的作用...
陈类在数学中是一个重要的概念，定义了向量丛截面的“需要零”的数量。最初，陈类被引入到微分几何中，通过同伦理论将其与同伦空间相联系。在代数拓扑中，陈类通过将向量丛映射到分类空间（特别是格拉斯曼空间）来定义，这为理解向量丛提供了新视角。Alexander Grothendieck提出了一个公理化的定义，即只需...
全陈类（total Chern class）是各阶陈类之和。陈类是复向量丛的一种上同调类。简介 全陈类是各阶陈类之和。环 中形式和式 就称为ω的全陈类，其中 为复n维向量丛ω 的第 i 个陈类。陈类 陈类是复向量丛的一种上同调类。设ω为复 n 维向量丛，为其基本实向量丛，表 中所有非零向量所成子空间...
或者说具体来说,任何XX的向量丛ξξ对应一个映射Xg→G(n)X→gG(n),那么cc和重言层ττ同时拉回,根据陈类的公理,c(ξ)=c(g∗τ)=g∗c(τ)c(ξ)=c(g∗τ)=g∗c(τ). 所以这等价于计算Grassmannian的上同调群并指定其陈类。而Whiteney直和性质则可以被解释为映射G(k)×G(h)→G(k+h...
理解陈类，关键在于把握“障碍”的概念。陈类是衡量向量丛“不平凡性”的指标。若一个向量丛 F 能被表示为平凡丛，则存在 k 个线性无关截面。反之，找这些截面的难度即为陈类的值。换句话说，陈类记录了构造线性无关截面的步骤中可能遇到的障碍。考虑复向量丛 F。找一个线性无关截面的难度系数即...
换一种角度，陈类可以看做从（实或复）流形范畴上的两个presheaf（一个是上同调函子，一个向量丛的...
陈类的理论，作为现代数学中的一个核心概念，对近复流形的陈类和配边研究产生了深远影响。在复流形领域，陈类理论提供了对流形的几何特征和拓扑性质的深刻洞察。以复流形M为例，其切丛作为复向量丛，赋予了流形内在的结构与性质。陈类，定义为切丛的陈类，成为表征流形几何性质的关键指标。特别地，当...