按不同的划分标准，实数可划分为有理数、无理数两大类，也可划分为代数数、超越数两大类。超越数是实数，是无理数，不是代数数。证明某数x是超越数都采用构造反证法：即证明x不是代数数，如果能够证明x不是代数数，那么x就是超越数，遗憾的是很多时候这个过程是极其困难的。已经证明超越数虽然有无穷多个...
代数数、超越数的定义 任意一个数 x ,不论是实数还是复数,若满足以下代数方程: anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0,(n≥1,an≠0) 其中, ak 是整数,这个数就是一个代数数。当 n=1 时,即表示有理数。 通过构造一一对应关系,可以证明代数数与自然数集等势,因此代数数集可数,而实数集不可数,即...
是超越数（[1]）。这个数写成小数就是（小数点后1的位置由 n! 确定）使用刘维尔的方法可以构造出一大类超越数，它们叫做刘维尔数。三十年后，法国数学家查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）在1873年第一次证明了 e 是超越数。随后德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）前往巴黎访问埃尔米特，...
这个结果对于证明数的超越性非常有用, 举例如下：[例子]e的非零代数数次方是超越的:0\not= \alpha\...
最著名的超越数总共有15个，如下：π、e、欧拉常数、卡塔兰（ Catalan）常数、刘维尔数、蔡廷（Chaitin）常数、钱珀瑙恩数Chapernowne数、 zeta函数特殊值、ln(a)、希尔伯特数2^(√2 )、e^π、 π^e、莫尔斯-修数、i^i 、费根鲍姆（ Feigenbaum）数。拓展阅读 超越数是一种数学概念，泛指不是代数的数，...
什么是超越数？超越数 若一个数不是代数数，它便是超越数超越数的例子包括π 和 e。代数数 什么是代数数？简单来说，若有多项式（如例）：2x2 − 4x + 2 = 0 则 x 是 代数数。（去阅读更多关于代数数的内容）。所以超越数不是这样的数。但是，我们怎样可以找到超越数呢？刘维尔数 在公元 1844...
超越数是指不能用有限次代数运算（加、减、乘、除）和平方根等根号运算表示的实数。它们的存在给了实数系统完整性的保证，弥补了有理数的不足。古代数学家通过研究无理数，最终证明了超越数的存在。其中，最著名的超越数包括圆周率π和自然对数的底数e。圆周率π定义了圆的周长和直径之间的关系，它是一个无限不...
在这一节中,令 R⊆M ,之后按照上一节的方法构造 M∞ 与M∞∗ . 由此得到的 R∗∈M∞∗ , 就是超实数集。 R∗ 中存在四个非常重要的概念。 记I 为无穷小构成的集合,意即 x∈I 当且仅当对于任意正实数 y∈R+ 都有|x|<y∗; 记F 为无穷大构成的集合,意即 x∈F 当且仅当对于任意...
我们在前面的文章中分别介绍了圆周率π和自然常数e,可以严格证明,π和e都是无理数,也都是超越数。 所谓代数数是指能够满足整系数多项式方程的数,而所谓超越数就是指不能满足整系数多项式方程的数。超越数必然是无理数,但无理数不一定是超越数。 例如√2是一个无理数,但√2不是超越数,因为√2是整系数多项式...
代数数有一些非常美妙的性质,比如说,就和实数自身一样,还有有理数,它能形成一个代数结构叫做数域。所有能够有加号,减号,乘号,除号,根号写成有理表达式的数,无一例外都归入代数数。 另一方面,也有的代数数无法写成这种形式,这些代数数也能组成数域,这很神奇而且不是很明显,后面会进一步提到。你很自然的想到,有...