解析 证明:由有理数的稠密性可知,可从中每个区间中取出一个有理数,组成集合 。由于中的区间互不相交,所以中元素互不相同。因此可以令中每个 区间与其中取出的有理数对应,可知。由于有理数集是可数集,而是有 理数集的子集,故至多为可数集,从而至多为可数集。
孤立集必是至多可数集. 相关知识点: 试题来源: 解析 证明:令,则是有界集列,且,故只需要证明每个是至多可数集即可. 注意到也是孤立集并且有界,方便起见,不妨仍记为. 这样,问题转为证明:有界的孤立集是至多可数集. 任取,由孤立性,存在使得 . (*) 得到满足(*)式开球族. 明显的,和开球族对等. 对中的球...
至多可数集是数学中描述集合规模的重要概念,指元素数量有限或可数的集合。这类集合包括有限集和可数无限集,其核心特征在于元素能够被明确计数或与
至多可数集是数学中描述集合元素数量的一种概念,指元素个数有限或能与自然数集建立一一对应关系的集合。这类集合的特点是元素能够被逐个“计数”,即使其数量是无限的。以下从两个核心类型展开说明。 一、有限集:元素数量明确的集合 有限集包含确定数量的元素,例如集合{1, 2, 3}...
解析 证明:记为中互不相交的开区间所构成的集族,对任意,由有理点的稠密性,中必存在有理点,取其中的一个有理点记为,并记,于是 必为至多可数集。 作到的映射如下: 由于中任意两个不同的和不相交,所以,于是是到的单射(实际上还是一一映射),所以 ,故也是至多可数集。
解析 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集是最多可数。对任意的,都存在使得。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)使得,从而。显然,对于任意的,当时,有,从而。令,则得到单射。由于可数,所以,是最多可数。
Qx:=B(δx2,x)∩Q≠∅. 于是得到{Qx}x∈F为一族两两不交的非空集合族,由选择公理可存在f:F→⋃x∈FQx为单射. 而注意到⋃x∈FQx⊂Q,于是card(F)⩽card(⋃x∈FQx)⩽card(Q)=card(N). 因此F为至多可数集.◻ 接下来我们将会利用该引理证明上述问题,但是在证明之前有必要为该引理的推...
至多可数集,顾名思义,是一种特殊类型的集合。它包括了有限集和可数集。首先,我们来看有限集。有限集是由有限个元素组成的集合,比如一个集合A包含元素{a, b, c, d},这个集合中的元素个数是有限的,所以它是一个有限集,同时也是一个可数集。我们可以将这个集合的元素按照任意顺序排列成一个无限数列,比如{a,...
例一: R 上实值函数 f 的可去间断点构成至多可数集 E 思路一:直接考察集合中点的性质。我们分析一下函数的图像,大致可以发现在一个高给定,宽任意小的矩形内只存在一个可去间断点,我们把这些间断点对应到至多可数个矩形就可以。记|f(x)−limx0→xf(x)|=η(x) 由可去间断点性质, 有∃δ(x,η(...