只有强对偶性成立的时候,拉格朗日对偶问题的最优解才等于原问题最优解。好在,对于线性规划问题,强对偶性总是成立的,我们会在后文中说明。 关于非凸优化的拉格朗日对偶方法,读者可参考弱对偶定理 设问题 (P) 和(D) 如定义。容易得到下面的结论: 引理:设 \bm{x},\bm{y} 分别是 (P) 和(D) 的可行解,...
强对偶性(对偶定理):如果原问题及其对偶问题都具有可行解,那么它们都具有最优解,且这些最优解的目标函数值相等。这是强对偶性的核心内容,也是线性规划理论中的一个重要定理。 互补松弛性:设Xo, Yo分别是原问题和对偶问题的可行解,Uo为原问题的松弛变量的值、Vo为对偶问题剩余...
1). Si une contrainte primale (resp. duale) est non saturée (i.e satisfaite en tant qu’inégalité stricte), alors l’inconnue duale correspondante (resp. primale) est nulle.如果原始问题(或对偶问题)约束不饱和(即满足严格不等式),则相应的对偶问题(或原始问题)未知数为零 2). Si une ...
将该问题称为对偶线性规划问题,也称为对偶问题,记为(D,Dual)。该模型解决的问题是,如何进行资源最小化定价(竞争性原则),使得资源售卖的收益不低于自己生产所获的最大生产收益(不吃亏原则)。 这里我们仔细观察一下资源出租模型,第一条约束是讲售卖4单位木工工时和2单位油漆工时的收益要大于50,50刚好是生产一张桌...
在线性规划问题中,任何一个求最大值的规划问题必有一个求最小值的规划问题与之相对应,二者含有相同的数据,且它们的解也有密切联系,反之亦然。若两个问题中,其中一个称为原问题,则另一个就称为对偶问题。 (1) 对偶问题的关系 已知下列两个线性规划问题Ⅰ、Ⅱ是互为对偶的,其中 问题Ⅰ: 问题Ⅱ: 不难发...
对偶性定理以及对偶定理的应用 线性规划中得对偶性定理正是对偶问题的核心定理之一。简单来说这个定理告诉我们,如果原问题有一个最优解,那么其对应的对偶问题也会有最优解,而且这两个最优解之间存在一个对偶间隙。对偶定理不仅让我们更容易求解线性规划问题;还帮助我们更好地理解约束条件之间的相互作用。以经济学为例...
线性规划模型的对偶性,对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上,线性规划对偶问题的最优解,就是资源的影子价格,它对于线性规划模型的经济分析,用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。 市场价格是已知的,而影子价格则与资源的利用情况有关,利用的好,影子价格就高,反之亦然。影子价格是一种边...
线性规划对偶理论的提出源于1940年代美国数学家冯·诺依曼的工作,他首次引入了对偶的概念。1947年,乔治·丹茨格(George Dantzig)进一步完善了线性规划及其对偶理论,并提出了著名的单纯形法。对偶理论的基础在于每一个线性规划问题(原问题)都可以关联一个对偶问题,这两个问题的最优解之间存在紧密的联系。对偶理论广泛用于...
1 对偶单纯型法 在上一节笔记中我们研究了线性规划问题的对偶问题,并且我们根据强对偶定理可知,线性规划问题的原问题和对偶问题是等价的。这就自然而然让我们产生一个想法就是我们可以通过求解对偶问题来达到求解原问题的目的。我们从一个直观的例子先入手来看一下 原问题: minx∈Rn;x1−2x2(1.1)s.t. x1+x...