我们越是深入探究贝尔特拉米和庞加莱世界的运转机制，就越会意识到第五公设的缺席给了我们怎样的自由。贝尔特拉米和庞加莱的几何比我们的几何要灵活得多，也丰富得多。瓷砖镶贴的例子令人印象深刻。欧氏几何中只存在三种完全规则的瓷砖：正方形、等边三角形和正六边形（图 4.27）。相反，圆盘中的规则图形则是无限的！
具体地说,公设1没有述及在任意两点之间可作的直线是唯一的,公设2没有述及线段延长的方式是唯一的,第五公设未述及三条直线位于同一平面这一先决条件。此外,同时使用“直线”和“有限直线”这两个术语,似乎意味着“直线”是无限的,其实却不然—否则就不会有第五公设中“两条直线任意延长”的说法了。 但撇开瑕疵...
前两条公设是从我们用直尺作图的经验中抽象出来的,第三个公设则源自于我们用圆规作图的经验,也就是说,前三条公设都是可以通过尺规作图来实现的。第四条公设作为抽象概念可能不那么明显,但它源于我们用量角器量角的经验。 第五公设的不同之处在于,我们无法根据经验来验证两条直线...
在牛顿 1687 年发表《原理》的时候,距离第五公设的提出已经过去了将近两千年。而在第五公设得到解决的时候,牛顿的理论还有不到一个世纪就要被“搁置”一旁了。 关于第五公设,我还有最后一件事要告诉你。这或许是关于第五公设的最令人困惑的地方:这是一...
五、第五公设：一条直线与两条直线相交，若在同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在该侧相交。虽然几何原本提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见.有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中...
第五公设是欧几里得《几何原本》中的一条关于平行线的公设，非欧几何是与欧几里得几何不同的几何学分支。第五公设： 定义：指同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。 别称：因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称...
关于欧几里得第五公设..首先要知道第五公设:若两直线和第三条直线相交,且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角。这两条直线像该侧延伸一定相交。那么然而在几何原本中,只有一个命题的证明需要直接用到这条公设(命题29:两直
第五公设，源自欧几里得《几何原本》，指的是在同一平面内，两条直线与第三条直线相交时，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则这两直线必在这一侧相交。由于它与平行公理等价，故也被称为欧几里得平行公设，简称平行公设。非欧几何，作为数学的一个重要分支，其内涵丰富多样。广义上，它涵盖了所有与...
6.3第五公设问题 6.3.1普雷菲定理 1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题,它的直观明显性比第五公设好些,通称欧几里得几何平行公理:通过直线外一点有唯一直线与该线平行. 先证第五公设蕴涵平行公理. 设 为平面上一已知直线, 是不在 上的任一已知点,求证有唯一直线通过 而与 不相交. 作 于点 ,用 ...
内错角相等定理与第五公设有着千丝万缕的联系。同旁内角互补定理的成立离不开第五公设。相似三角形定理的推导中隐含着第五公设的作用。勾股定理在某种程度上也和第五公设相关。直角三角形斜边中线定理的证明受到第五公设影响。 三角形全等定理的一些证明思路依赖于第五公设。等腰三角形定理的成立与第五公设有关。等边...