基于拒绝采样的方法。 拒绝采样是一种简单直接的方法,其基本思想是在一个包含球面的立方体中随机生成点,然后拒绝那些不在球面上的点。具体步骤如下: 1. 在一个边长为2r(r为球的半径)的立方体中均匀随机生成点(x, y, z)其中x, y, z ∈ [-r, r] 2. 对于生成的每个点,计算其到球心的距离d = √(x...
这篇文章将①简要介绍黎曼流形上的概率定义,介绍如何在流形上对均匀分布采样,以圆环、圆面、球面、球体为例给出实验结果;②简要分析「斐波那契格点」与均匀分布的关系,给出另外两类格点「正方形格点」与「六边形格点」的实验结果,指出思考的方向但理论分析留给后续工作。
面积微元dA=r2sinθdθdϕdA=r2sinθdθdϕ,当sinθsinθ小的时候立体角也小,面积微元也更小,因此采样点更加密集,随着sinθsinθ的增大,立体角也不断增大,面积微元也更大,因此采样点更加稀疏。所以采样结果在球面的两极更加密集。因此直接对(θ,ϕ)(θ,ϕ)均匀采样无法得到对球面均匀采样的结果。
综上所述，球面上的均匀分布采样可以通过利用黎曼流形的性质和坐标系统映射关系来实现，而格点的选择和布局则对均匀性产生重要影响，其中斐波那契格点因其黄金分割参数而展现出独特的优势。
我就简单说下引用结果。球面上微元dA=r2sinθdθdφ会在θ=0和θ=π面积变下采样密度变大。实现球面均匀采样两种可用规则: Uniform mapping : θ=arccos(1−u) φ=2πv Cosinus mapping : θ=arccos(1−u) φ=2πv 代码实现如下: vec3 hemisphereSample_uniform(float u, float v) { ...
均匀分布的概率密度函数定义为在黎曼流形上的全区域积分，这一公式提供了一个基础框架。然而，实际描述分布或计算采样仍然需要坐标系统。通过极坐标与柱坐标，我们能够直观地在圆盘与球面上实现均匀分布。具体而言，极坐标下的圆盘与柱坐标下的球面之间存在映射关系，使我们能够利用已知的均匀分布来近似球面上...
cos. 的locality sensitive hashing方法估算需要球面均匀采样, 计算时随机数生成速度和存储是一个瓶颈. 为方便, 采用伪随机生成的方法, 假设各维度独立同分布, 然后缩放到球面上. 注意到球面均匀分布在正交变换下不变, 有各维度分布在模1向量加权和下不变. 设其特征函数为 $cf(t)$, 则有方程 : ...
均匀光源积分球的基本原理是光线通过采样口被积分球采集,在积分球内部多次反射后在积分球内部非常均匀地散射。可以使测量结果更加可靠。通常积分球内几个灯泡,对称均匀地设置在均匀光源积分球内壁和出光孔上。灯泡发出的光通过内壁漫反射多次,形成均匀明亮的发光球面。均匀光源积分球主要用于测量摄影物镜的渐晕系数和像面...
题目四：给定一个半径为1 的圆球，问如何进行采样，保证球面每一个点被随机均匀采到。同理，很容易...
这一节依旧是铺垫的内容。蒙特卡洛积分(Monte-Carlo integration)在其他地方都会用到,例如Monte-Carlo Ray Tracing(还有很多其他领域的数值计算的应用)。因为这系列学习笔记的主题是SH Lighting,所以还会讲讲如何在球面上均匀采样(uniform sampling)以及对球面函数的蒙特卡洛积分。