最后，通过带入x =1, 牛顿可以获得π/4的无限和。这是一个重要的发现，但事实证明，有更好的方法可以通过无限和来近似π，正如牛顿本人在最初尝试这种类型的无限和（现在称为幂级数）后很快发现的那样。最终他计算出圆周率的前 15 位数字。回到圆弧的问题，牛顿意识到圆本身的方程（不仅仅是它下面的区域）也可...
通常称为指数级数的这种幂级数，事实上可认为是数学里最重要的级数，它是由英国伟大的数学家和物理学家牛顿（1642 – 1727年）所发现的。他的包含正弦级数、余弦级数、反正弦级数、对数级数、二项级数以及指数级数的这篇著名论文写于1665年。然而牛顿指数级数的解法不太严谨且过于复杂。下面的解法是以函数x^n和函数...
牛顿级数把普通多项式转组合数形式的多项式,这种组合形式的多项式就叫牛顿级数。有一个用途是转化高位差分。已知多项式 f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn因为(xn) 是一个关于 x 的多项式。写成组合数的形式 f(x)=c0(x0)+c1(x1)+c2(x2)+⋯+cn(xn)先给结论:f(x)=f(0)(x0)+Δf(0)(x1)+Δ2f(0...
正弦和余弦级数用泰勒公式很容易得到,但它第一次是出现在欧洲人的手稿中,这个人就是牛顿。我们来回顾它的历史。 牛顿的思维方法:从D引出圆弧的切线DT,斜边DH视为圆弧aD的增量,令AB的增量BK=dx,DH=dz,这样我们就建立了一个无限小的直角三角形DGH,z=z(x)代表圆弧aD长度,这一切都发生在单位圆内,所以角度aAD的...
使用牛顿级数计算圆周率 引言 圆周率(π)是数学中一个重要的常数,它表示圆的周长与其直径的比值。计算圆周率的方法有很多种,其中之一就是利用级数展开式来逼近其真实值。牛顿-莱布尼茨公式(也称泰勒级数的一种应用)是一种经典的通过无穷级数来计算π的方法。本文将介绍如何使用牛顿级数来计算圆周率。 理论基础 牛顿-莱布...
牛顿级数为圆周率计算提供了一种独特的数学途径。该方法基于牛顿在数学分析领域的深厚理论基础。通过牛顿级数展开可逐步逼近圆周率的精确值。牛顿级数的通项公式在圆周率计算中起关键作用。其公式能将复杂的圆周率计算转化为级数形式。牛顿级数中各项系数的确定影响圆周率计算精度。合理选取级数项数可提升圆周率计算的准确性。
利用幂级数,牛顿能够轻松地进行积分计算,解决代数方程,甚至精确计算正弦、余弦和对数等函数的值。 正如他自己所表述的那样:“借助这些工具,分析学的能力达到了巅峰,几乎所有的问题都能找到解决之道。” 当然,牛顿在幂级数的应用上并未止步。 他将其应用拓展至自然对数和三角函数领域,因为在天文学、测量学和航海领域...
具体数学-第14课(牛顿级数和生成函数) 原文链接: 具体数学-第14课 - WeiYang Bloggodweiyang.com 牛顿级数 多项式函数的一般表示形式为: 也可以将其表示为下降阶乘幂的形式: 这种表示的好处是,求差分更加方便: 因为有 所以多项式又可以表示为组合数的形式,也被叫做牛顿级数:...