泰勒公式(Taylor's formula) 带Peano余项的Taylor公式(Maclaurin公式):可以反复利用L'Hospital法则来推导, f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+渐轻呼两f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 泰勒中值定理(带拉格郎日余项的泰勒公式):若函数f(x)在含有x的...
1. 一阶泰勒公式推导: 根据拉格朗日中值定理,存在c介于a和x之间,使得: f(x) = f(a) + f'(c)(x-a) 这就是一阶泰勒公式。 2. 二阶泰勒公式推导: 对一阶泰勒公式两边再次求导,得到: f'(x) = f'(a) + f''(c)(x-a) 将f(x)在x=a处的展开式和f'(x)在x=a处的展开式相加,得到: ...
1.泰勒公式的推导 (1)Sinx 首先对f(x)=Sinx进行n阶求导可以发先规律 Sinx→Cosx→−Sinx→−Cosx 用多项式函数近似代替 g(x)=∑i=0na0xi 得到如下推导 g(0)(x)=Sinx=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+...+anxng(1)(x)=Cosx=a1x0+2a2x1+3a3x2+4a4x3+5a5x4+...+anxng (2)(x)=...
泰勒公式的推导过程为:若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶的导数,那么对于任一x∈(a,b),有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!+f'(x0)/2!+...+f(n)'(x0)/n!+Rn(x)。 其中,Rn(x)=f(n+1)δ(x-x0)^(n+1)/(n+1)!此处的δ为x0与x之间的某个值。f(...
在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值,这个邻域甚至可以延伸到级数的收敛半径(见下文)。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏...
1 泰勒公式推导:将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。其中,Rn(x)=f(n+1)δ(x-x0)^(n+1)/(n+1)!,此处的δ为x0与x之间的某个值。f(x)称为n阶泰勒公式,其中,P(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+f...
再根据假设来推导出各个系数的值: 下面来讲述细节。 3 对余项的观察 为了叙述方便,我们用来表示余项: 下面来观察随着泰勒公式的展开,余项会发生什么变化。 3.1 零次展开 泰勒公式的零次展开为 其中,多项式部分()为过展开点的一条横着的直线: 零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项: ...
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项 Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)(ξ在x与x0之间),这需要用n+1次柯西中值定理,教科书上都有详细的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页....
解析 泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数,得f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+......