所有次梯度的集合称为次微分,记为 。次微分总是非空的凸紧集。 此记法与前面的次导数记法极为相似。我们用更为常见的记法来定义次梯度: 次梯度(Subgradient)与梯度的概念类似,凸函数的First-order characterization(一阶特征描述)是指如果函数f可微,那么当且仅当 为凸集,且对于 ,使得 ,则函数 为凸函数。这里...
对于可导的凸函数,我们通常使用常规的梯度下降法处理,但当目标函数不可导(在某些点上导数不存在)时,我们就没法使用常规的梯度下降法处理。于是引入次梯度(Subgradient)用于解决此类目标函数并不总是处处可导的问题。 次梯度方法的优势是比传统方法能够处理的问题范围更大,不足之处就是算法收敛速度慢。 2. 次梯度的定...
列出它的原因在于共轭梯度法也只使用了一阶信息,但是因为没有直接使用梯度,所以它不属于加速梯度方法。这里我们贴出《数值优化》第3和4节的链接,大家可以点进去了解共轭梯度法。 Nesterov加速梯度法 加速梯度法最有名的就是Nesterov加速梯度法,但必须要承认它的原理是非常难以理解的,这也是我们不会在这里详细证明它的...
随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent, SGD)和次梯度法(Second-order methods)是两种广泛应用于机器学习和深度学习中的优化算法。这两种算法在优化目标函数时具有不同的性能表现,这篇文章将从以下几个方面进行深入探讨: 背景介绍 核心概念与联系 核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解 ...
次梯度方法 首先,我们想到的方法是推广一下梯度下降法。 x(k+1)=x(k)−αkg(k)x(k+1)=x(k)−αkg(k) 其中,g(k)∈∂f(x(k))g(k)∈∂f(x(k)) 然而,−g(k)−g(k)可能不再是下降方向。所以常用的方式是一直保留最小的函数值,直到结果收敛。
1.Subgradient Method:次梯度法是最基本的次梯度计算方法。它通过计算函数在给定点的次梯度来进行优化。次梯度法的优点是简单易用,但收敛速度较慢。 2.Supergradient Method:超梯度法是次梯度法的一种改进方法。它根据函数在当前点的超梯度来选择下一步的迭代方向。超梯度法相比于次梯度法在计算效率上更高,但需要...
1.梯度 严格意义上梯度只能说是只是函数的梯度。 以二元函数 为例,对应的平面方程: 在某一点 = 处,如果我们直接算 处的梯度,得到的是一个二维向量 ,记作向量 。显然这个向量并不是该平面上这一点的法向量,连维度都不够格。另外,这里的梯度表示,沿 ...
在前文梯度下降法(一)从导数到梯度下降法的基本逻辑中指出,当函数梯度不存在时候,梯度下降法失效,而次梯度法则是凸优化中解决此类状况的一种有效方法。 一、基本定义 为了介绍次梯度的概念,首先需要引入次导数、次微分等概念。这些概念源于导数、微分,但又有显著的区别。 1. 次导数 下图中的一元函数均为凸函数,...
对偶问题次梯度法是一种基于对偶性和次梯度的优化算法,适用于处理大规模非凸优化问题。 二、次梯度 次梯度是一种用于描述函数局部信息的方法,它是在梯度无法计算或无法提供足够信息时使用的一种近似方法。在非凸优化问题中,由于函数可能不存在全局最优解,因此需要使用次梯度来描述函数的局部信息。次梯度的计算方法有...