[数学分析]棣莫弗(de Moivre)公式的直观推导 eM公式:cosnx+isinnx=(cosx+isinx)n 要直观的了解这个公式,我们要先知道复数的乘法的几何意义。 我们都知道,一个复数z=a+bi可以被描述成在一个复平面上的一个向量,这个向量的坐标就是(a,b)。也就是一个复数的实部为这个向量的横坐标,虚部为...
公式如下：棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ + isinθ)时，其n次方(r(cosθ + isinθ))n = rn(cos(nθ) + isin(nθ))，其中n属于任何整数。简介：棣莫弗是法国数学家。1667年5...
直观推导棣莫弗(de Moivre)公式，我们需先理解复数乘法的几何意义。复数可被视作复平面上的向量，实部和虚部分别代表向量的横纵坐标。向量坐标可表示为参数方程，其中参数角θ表示与正实轴的夹角，模长r为向量长度。考虑两个复数相乘，实部与虚部的乘积代表向量长度的乘积，而角度之和代表方向的旋转。因...
有了复数的模长和辐角,一个复数的实部和虚部就能用模长r与辐角共同表示{x=rcosθy=rsinθ于是复数可以表示为z=r(cosθ+isinθ)这称为复数的三角形式.而根据欧拉提出的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ复数又可表示为指数形式z=reiθ二.棣莫弗定理 对于任意两个复数z1=x1+iy1,z2=x2...
我们根据简单的计算可以很容易地推导出棣莫弗公式，如下用初等的数学计算可得到 接着我们可以得到有棣莫弗公式表示的正余弦函数，如下形式所示，看上去比较复杂，其实是非常简单的，这里只是用更为直观的方式表示出来 接着我们进入正题：我们令nz等于一个常数v，即v=nz，这时n为无穷大数i，z为无穷小数，无穷大乘以...
事实上,前面介绍的棣莫弗公式的推导方法在欧拉的《无穷分析引论》中有介绍,且 用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和 的方法也是最先出现在《无穷分析引论》中。根据前面介绍的棣莫弗公式和二项式定理(点击参考:广义二项式定理),欧拉还推导出了三角函数的n倍角公式和无穷级数展开式,下面先对前者进行介绍。
咱们再来看棣莫弗公式,它表述为:$(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$。 那欧拉公式怎么推导棣莫弗公式呢?这就像是搭积木一样,一块一块来。 我们先把欧拉公式中的$e^{ix}$看作一个整体,假设它是$z$,也就是$z = e^{ix} = \cos x + i\sin x$。 然后我们来看看$z^n$...
公式]，其n次幂的模长保持为1，而辐角变为[公式]，这可以通过二项式定理的展开[公式]来直观理解。当我们要推导正余弦的三倍角公式，如[公式]，只需考虑复数[公式]，其n=3，利用棣莫弗定理的推广，可以得出[公式]，进一步代入[公式]，得出[公式]，这就是三倍角公式的基本推导过程。
复数的三角形式为 [公式]，而指数形式为 [公式]。根据欧拉公式 [公式]，复数可表示为 [公式]。棣莫弗定理 对于任意两个复数 [公式]，其乘法遵循实数法则，即 [公式]。乘法的结果是一个新的复数，模长等于两个乘数模长的乘积，辐角等于两个复数辐角的和。此性质称为棣莫弗定理。该定理适用于...