极分解定理又称乘法分解定理，它表示，任一可逆的二阶张量 F 具有下列两个唯一的相乘分解：F=R·U 或 F=R·U (右分解)和 F=V·R 或 F=V·R (左分解)式中为 R 正交张量，而 U 和 V 为对称正定张量。下列关系成立：U=(F·F)，V=(F·F)，式中 F 为 F 的转置。若把极分解定理应用于变形...
与SVD的关联:SVD可视为极分解的扩展,将矩阵分解为两个酉矩阵和一个对角矩阵的乘积。 与谱分解的对比:谱分解针对正规矩阵(如对称矩阵),而极分解适用于任意矩阵。 六、几何解释 极分解的几何意义在于将线性变换拆分为**刚性变换(U)与形变(P)**的组合。例如,三维空间中物体的变形可分解为...
通过极分解可以将物体的变形进行分解,最直观的几何意义是分解为转动和纯变形,且转动在其中起到决定性作用:它将参考构型中的Lagrange标架转换为当前构型中的Euler标架;纯变形在其中只起到伸长的作用,对坐标系转换没有影响。 1. 定义 任意一个二阶可逆张量(此处为变形梯度张量)可以分解为:F=R1⋅U=V⋅R2,分别称...
三、极分解 极分解与奇异值分解是类似的,先求 A 的奇异值分解: A=U\Sigma V^H=(U\Sigma U^H)(UV^H)\tag*{} 令S=UV^H,R=(U\Sigma U^H) ,则 S 为等距同构, R 为半正定矩阵。(此为 A=RS 极分解下的计算方法,注意看清 R,S 的先后顺序) 四、绕任意轴的旋转矩阵 我们要求绕轴 \textbf...
极分解 线性算子的极分解是将一有界线性算子化为部分等距算子与一正算子之积的分解。设T是希尔伯特空间H到希尔伯特空间K的有界线性算子，记 （它有H上正线性算子），则存在从H到K中的部分等距算子U使得T=U|T|，T的这种形式的分解，称为极分解。定义 如果还要求kerU=ker|T|，则极分解中部分等距U的选取是惟一...
1.极分解的唯一性:对于一个矩阵A,它可能有多个极分解,但是P和Q的乘积是唯一的。也就是说,如果A=P_1Q_1=P_2Q_2,那么P_1=P_2且Q_1=Q_2。 2.极分解的可逆性:如果A=PQ是A的一个极分解,那么P和Q都是可逆的。特别地,当A是可逆矩阵时,它的极分解是唯一的。
研究变形梯度极分解时,需要同时理解其数学表达和物理意义,才能在实际工程问题中灵活应用。 变形梯度张量F是描述物体从初始构型到变形后构型的核心工具。这个二阶张量包含了物体每个质点的位置变化信息,但直接使用F分析变形会遇到困难,因为它混合了纯变形和刚体旋转。极分解的作用就在于将F分解为两个独立部分:一个正交...
[;A=\{(a_j)|a_j \in M_{n_j}(\mathbb{C}), \lim||a_j||=0 \};] 那么显然[;A;]是[;M;]中的理想考虑商代数[;M/A;]和投影映射[;\pi:M \to M/A;] 首先由于任意有限阶复矩阵都有极分解(即一个酉阵和一个半正定阵之积),那么[;M;]中的元素也有极分解(即酉阵序列和半正定阵...
命题[极分解]指出，任意n阶可逆方阵都可以唯一地分解为一个n阶正交矩阵和正定矩阵的乘积。存在性部分是通过证明存在这样的正交矩阵和正定矩阵来实现的，而唯一性则是通过证明任何满足该分解的矩阵组合必然等价于已知的唯一组合。对于不可逆矩阵，分解需要考虑半正定矩阵的情况，但此处未详细讨论。正交相抵标准...