李导数是描述一个向量场沿另一个向量场变化的工具。设X和Y是流形上的两个向量场,李导数LxY表示向量场Y沿X方向的变化。李导数具有以下性质: 作用于标量场:对于一个标量函数 f,李导数 Lxf就是 X 作用在 f 上,即 X(f)。 作用于向量场:对于向量场 Y,李导数 LxY 表示 Y 沿 X 的变化,这可以看作是 X ...
我们用简单的一张图, 直接得出李导数LXY=[X,Y]的表达式和一些直观的性质. 首先李导数的定义是LXY=limt→0dθ−tY(t)−Y(0)t, 其中θt:γ(0)↦γ(t)并且γ′=X(γ)是X向量场的flow. 为了简单起见, 我们可以考虑limt→0Y(t)−dθtY(0)t=limt→0dθ−tY(t)−dθtY(0)t=limt→0...
1.李导数是方向导数,协变导数不是方向导数。2.李导数是切矢/微分的 推前/拖后,协变导数是平移。我认为上述没有说清区别。对说法1的问题:李导数和沿某个方向的协变导数(协变微分和矢量缩并)的区别是什么?对说法2的问题:还是没说清,推前和平移的区别?我感觉本质区别是:李导数是用一个固定弯曲坐标系研究...
李导数是微分几何中的一个重要概念,是在流形上定义的向量场的导数运算。它是由挪威数学家挪尔斯·阿本·李(Sophus Lie)所引入的。 设M是一个n维流形,p是M上的一点。对于p点上的一个光滑向量场X,在p点的一个坐标系中表示为(X^1, X^2, ..., X^n)。在另一个坐标系中,向量场的坐标表示为(X'^1, ...
其中\mathscr{L}_v T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}的意思就是(k,l)型张量场T^{a_1\dots a_k}_{\ \qquad b_1\dots a_l}沿着光滑矢量场v的李导数。 上面的ϕt∗是ϕt:M→M的拉回映射,ϕt就是矢量场v所对应的那个单参微分同胚群,这就是之前说比较重要的原因,因为...
李导数(Lie derivative)是微分几何与微分方程中的一个重要概念,它由数学家索菲斯·李提出。作为一种强有力的数学工具,李导数在研究流形的几何性质、分析物理场的变化等方面扮演着关键角色。 总的说来,李导数可以看作是对一个向量场沿另一个向量场方向的变化率的一种度量。具体来说,它考虑的是在流形上的一个向...
李导数(Li derivative)是一种计算导数的方法,它能够通过多次计算来逼近函数的导数值。这种方法适用于在给定点处计算函数的导数,特别是在无法解析计算导数的情况下。 李导数通过计算函数在给定点处的一系列差商来近似导数值。它基于以下原理:对于一个函数f(x),在点x处的导数可以通过计算函数在x点的邻近点的函数值之...
李导数与协变导数在定义和应用上具有一定的联系，但也存在显著的差异。以下是它们之间的主要联系和区别：联系： 输入要求相似：李导数和协变导数的定义都需要两个输入：求导方向和被作用对象。 对象移动需求：在比较邻近两点上的对象时，李导数和协变导数都需要先把一点处的对象移动到另一点处。 可转化...
李导数 对于由流形 上光滑矢量场 所给出的单参微分同胚群 ,因为 (该映射有无数个,因为 ),所以它也能看作是一特殊的推前映射 ,若设 (不难推广至(k,l)型张量),显然有 ,所以定义:,称为张量场 沿矢量场 的李导数。 设流形 上一个坐标系为 ,若其第一坐标基矢 和矢量场 间满足:,即矢量场为第一坐标...